Cho hàm số $y=\frac{2mx+m}{x-1}\left(C\right)$. Với giá trị nào của m( $m\ne 0$) thì đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8?

ĐKXĐ:  $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.$

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình $x^2-6x+2m=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn  $x_1>x_2>-2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ x_1+x_2>-4\\ \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}9-2m>0\\ 6>-4\left(tm\right)\\ x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m+2.6+4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m>-16\end{array}\right.$

$\iff -8<m<\frac{9}{2}$

$\Rightarrow S=\left\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$

Vậy tập hợp S có 12 phần tử.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2+2mx-m+2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang với mọi giá trị của m.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 (1)

Phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ có  $\Delta \text{'}=m^2-\left(-m+2\right)=m^2+m-2$

$\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{c}\Delta \text{'}=0\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ 1^2+2m.1-m+2=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{m}^2+m-2\\ \left\{\begin{array}{c}{m}^2+m-2>0\\ 3+m=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}m>1\\ m<-2\\ m=-3\end{array}\iff \right.\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\\ m=-3\end{array}\right.\right.$

Do đó, tập các giá trị của tham số m thỏa mãn là:  $S=\left\{1;-2;-3\right\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp S bằng : 1 – 2 – 3 = - 4

Đáp án cần chọn là: A