Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x^2+2mx-m+2}$ có đúng hai đường tiệm cận. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng:

ĐKXĐ:  $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.$

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình $x^2-6x+2m=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn  $x_1>x_2>-2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ x_1+x_2>-4\\ \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}9-2m>0\\ 6>-4\left(tm\right)\\ x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m+2.6+4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m>-16\end{array}\right.$

$\iff -8<m<\frac{9}{2}$

$\Rightarrow S=\left\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$

Vậy tập hợp S có 12 phần tử.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$y=\frac{x-3}{x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m}$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-3}{x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x^3}-\frac{3}{x^3}}{1-3m\frac{x^2}{x^3}+\left(2m^2+1\right)\frac{x}{x^3}-\frac{m}{x^3}}=0$

Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình  $x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m=0$ (1) có ba nghiệm phân biệt  $x\ne 3$

Ta có:$x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m=0$

$\iff \left(x-m\right)\left(x^2-2mx+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=m\\ x^2-2mx+1=0(*)\end{array}\right.$

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì $m\ne 3$ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m và khác 3.

Do đó:  $\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=m^2-1>0\\ 3^2-2.m.3+1\ne 0\\ m^2-2m^2+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ m\ne \frac{5}{3}\\ m\ne -1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ m\ne \frac{5}{3}\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện  $\left\{\begin{array}{c}m\ne 3\\ -6\le m\le 6\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{-6;-5;-4;-3;-2;2;4;5;6\right\}$

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện

Đáp án cần chọn là: B