Cho $f\left(x\right)=a{x}^3+4x\left(x^2-1\right)+8; g\left(x\right)=x^3-4x\left(bx+1\right)+c-5$ với a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x)=g(x).

Đáp án cần chọn là A.

Ta có:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=a{x}^3+4x\left(x^2-1\right)+8 \\ =a{x}^3+4x.x^2-4x+8=a{x}^3+4x^3-4x+8 \\ =\left(a+4\right)x^3-4x+8 \\ g\left(x\right)=x^3-4x\left(bx+1\right)+c-5 \\ =x^3-4x.bx+4x+x-5=x^3-4b{x}^2+4x+c-5 \end{gathered}$$

Thay x = 0 vào f(x) = g(x) ta được

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=g\left(0\right) \\ \Rightarrow \left(a+4\right).0^3-4.0+8=0^3-4b.0^2+4.0+c-5 \\ \Rightarrow 8=c-5\Rightarrow c=13 \end{gathered}$$

Khi đó x = 1 vào f(x) = g(x) ta được

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=g\left(1\right) \\ \Rightarrow \left(a+4\right).1^3-4.1+8=1^3-4b.1^2+4.1+c-5 \\ \Rightarrow a+4-4+8=1-4b-4+8 \\ \Rightarrow -a+8=5-4b\Rightarrow a=-3-4b \left(1\right) \end{gathered}$$

Khi đó x = -1 vào f(x) = g(x) ta được

$$\begin{gathered} f(-1)=g(-1) \\ \Rightarrow \left(a+4\right){\left(-1\right)}^3-4.\left(-1\right)+8={\left(-1\right)}^3-4b.{\left(-1\right)}^2+4.1+c-5 \\ \Rightarrow -a-4-4+8=-1-4b+4+8 \\ \Rightarrow -a+8=11-4b\Rightarrow a=4b-3 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow -3-4b=4b-3\Rightarrow 8b=0\Rightarrow b=0$

Thay b = 0 vào (1) ta được a = -3

Vậy a = -3; b = 0; c = 13.