Tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chọn câu đúng nhất.

Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: EI = IM = IA = $\frac{1}{2}$AM.

Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: $\widehat{EID}=2.\widehat{EAI}$ (góc ngoài của tam giác).

Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có: $\widehat{MID}=2.I\widehat{AD}$ = 2, DI = $\frac{1}{2}$AM.

Do đó: EI = DI ( = $\frac{1}{2}$AM); 

$\widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2.\widehat{EAD}={60}^0$

Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: $\widehat{EID}$ = 60⁰ nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.

Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF.

Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.

Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.

Gọi N là trung điểm của AH.

Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.

Do đó AN = NH = HD.

Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).

Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – clit) nên M, H, K thẳng hang.

Vậy D sai vì ID = IF.

Đáp án cần chọn là: D

Vì chu vi hinh thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 24 : 4 = 6cm.

Suy ra AD = 6cm

Xét tam giác AHD vuông tại H có AH = $\frac{1}{2}$AD =>  $\widehat{ADH}$ = 30⁰ (tính chất)

Suy ra  $\widehat{DAB}$ = 180⁰ - $\widehat{ADC}$ = 180⁰ – 30⁰ = 150⁰ (vì ABCD là hình thoi)

Nên hình thoi ABCD có $\hat{D}=\hat{B}$ = 30⁰;  $\hat{A}=\hat{C}$ = 150⁰ (vì hai góc đối bằng nhau)

Lại có: CA là tia phân giác $\widehat{DCB}$ (tính chất hình thoi)

Nên $\widehat{DCA}$ =  $\frac{1}{2}$$\widehat{DCB}$ = $\frac{1}{2}$.150⁰ = 75⁰

Đáp án cần chọn là: D