Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 24 cm, đường cao AH bằng 3cm. Tính $\widehat{DCA}$

Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: EI = IM = IA = $\frac{1}{2}$AM.

Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: $\widehat{EID}=2.\widehat{EAI}$ (góc ngoài của tam giác).

Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có: $\widehat{MID}=2.I\widehat{AD}$ = 2, DI = $\frac{1}{2}$AM.

Do đó: EI = DI ( = $\frac{1}{2}$AM); 

$\widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2.\widehat{EAD}={60}^0$

Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: $\widehat{EID}$ = 60⁰ nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.

Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF.

Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.

Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.

Gọi N là trung điểm của AH.

Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.

Do đó AN = NH = HD.

Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).

Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – clit) nên M, H, K thẳng hang.

Vậy D sai vì ID = IF.

Đáp án cần chọn là: D

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BD = CE = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

MP = $\frac{1}{2}$BD = a; NQ = $\frac{1}{2}$BD = a; NP = $\frac{1}{2}$CE = a; MQ = $\frac{1}{2}$CE = a.

Suy ra MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN ⊥ PQ

Đáp án cần chọn là: C