Cho $z$, $w\in ℂ$ thỏa $\left|z+2\right|=\left|\overline{z}\right|,\left|z+i\right|=\left|z-i\right|,\left|w-2-3i\right|\le 2\sqrt{2},$$\left|\overline{w}-5+6i\right|\le 2\sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất $\left|z-w\right|$ bằng

Giả sử $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right)$. Gọi $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn của z trên $mp\left(Oxy\right)$.

Ta có:

+) $\left|z+2\right|=\left|\overline{z}\right|\iff {\left(x+2\right)}^2+y^2=x^2+y^2\iff x+1=0\left(d_1\right)$

+) $\left|z+i\right|=\left|z-i\right|\iff x^2+{\left(y+1\right)}^2=x^2+{\left(y-1\right)}^2\iff y=0\left(d_2\right)$

Khi đó $M=\left(d_1\right)\cap \left(d_2\right)\Rightarrow M\left(-1;0\right)$.

Giả sử $w=a+bi,\left(a,b\in ℝ\right)$. Gọi $N\left(a;b\right)$ là điểm biểu diễn của w trên $mp\left(Oxy\right)$ .

Ta có:

+) $\left|w-2-3i\right|\le 2\sqrt{2}\iff {\left(a-2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2\le 8\left(C_1\right)$

+) $\left|\overline{w}-5+6i\right|\le 2\sqrt{2}\iff {\left(a-5\right)}^2+{\left(b-6\right)}^2\le 8\left(C_2\right)$

Với $\left(C_1\right)$ là hình tròn tâm $I\left(2;3\right)$, bán kính $R_1=2\sqrt{2}$;

$\left(C_2\right)$ là hình tròn tâm $J\left(5;6\right)$, bán kính $R_2=2\sqrt{2}$

Khi đó N thuộc miền chung của hai hình tròn $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$ ( hình vẽ).

Ta có: $\left|z-w\right|=MN$

Ta có: $\overrightarrow{MI}=\left(3;3\right);\overrightarrow{IJ}=\left(3;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\overrightarrow{IJ}$ .

Như vậy ba điểm M,I,J thẳng hàng.

Do đó: MN lớn nhất khi và chỉ khi $N=MJ\cap \left(C_1\right)\Rightarrow M{N}_{\max }=MI+IN=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.

Chọn đáp án A