Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa hai mặt phẳng và bằng với Thể tích khối chóp đã cho bằng (ảnh 1)

Đặt $A D = x$ với $x > 0.$

Trong mặt phẳng $(S A C) :$ kẻ $A H ⊥ S B$ tại $H;$ trong mặt phẳng $(S A D)$ , kẻ $A K ⊥ S D$ tại $K .$

Dễ dàng chứng minh được $A H ⊥ (S B C)$ , $A K ⊥ (S C D)$ và $H$ là trung điểm của $S B .$

Chọn hệ trục tọa độ $O x y z$ như hình vẽ

Ta có: $A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), S (0; 0; a), D (0; x; 0), H (\frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2})$

Suy ra: $\vec{S D} = (0; x; - a), \vec{A S} = (0; 0; a), \vec{A H} = (\frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2}) .$

Trong tam giác $S A D$ vuông tại $A$ có

$S A^{2} = S K . S D \Leftrightarrow \frac{S K}{S D} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S A^{2} + A D^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}}$

$\Rightarrow \vec{S K} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}} \vec{S D} \Leftrightarrow \vec{A K} - \vec{A S} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}} \vec{S D}$

$\Rightarrow \vec{A K} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}} \vec{S D} + \vec{A S} \Leftrightarrow \vec{A K} = (0; \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}}; \frac{a x^{2}}{a^{2} + x^{2}})$ .

Do $\vec{A H}, \vec{A K}$ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ nên

$\cos φ = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{|\vec{A H} . \vec{A K}|}{|\vec{A H}| . |\vec{A K}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} |\vec{A H} . \vec{A K}| = |\vec{A H}| . |\vec{A K}|$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . |\frac{a}{2} . \frac{a x^{2}}{a^{2} + x^{2}}| = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \sqrt{\frac{a^{4} x^{2}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}} + \frac{a^{2} x^{4}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{a^{2} . x^{2}}{a^{2} + x^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}} . \sqrt{a^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow \sqrt{3} x = \sqrt{2} . \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} = 2 a^{2} + 2 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 2 a^{2} \Leftrightarrow x = a \sqrt{2} = A D .$

Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là $V = \frac{1}{3} S A . A B . A D = \frac{1}{3} . a . a . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Chọn đáp án B.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hàm số $f (x) = x^{3}$ có một nguyên hàm là $F (x) .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $O x y z,$ phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $\{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 3 t \\ z = 2 + t \end{cases} ?$

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ,$ bảng biến thiên của hàm số $f' (x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (\frac{x + 1}{x - 1})$ là

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B, B C = a \sqrt{3}, A C = 2 a .$ Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{3} .$ Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng đáy bằng

Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $A B = a, S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ bằng $φ,$ với $\cos φ = \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Thể tích khối chóp đã cho bằng

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{x}$ với $x > 0.$