Cho hàm số fx nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2 . Biết f0=1 và fx.f2−x=e2x2−4x với mọi x∈0;2. Tính tích phân I=∫02x3−3x2.f'xfxdx. A. I=−143. B. I=−325. C. I=−163. D. I=−165.

Đáp án D Từ giả thiết fx.f2−x=e2x2−4x→x=2f2=1. Ta có I=∫02x3−3x2.f'xfxdx. Đặt u=x3−3x2dv=f'xfxdx⇒du=3x2−6xdxv=lnfx Khi đó I=x3−3x2lnfx02−∫023x2−6xlnfxdx=f2=1−3∫02x2−2xlnfxdx=−3J Ta có J=∫02x2−2xlnfxdx=x=2−t∫202−t2−22−tlnf2−td2−t =∫202−x2−22−xlnf2−xd2−x=∫02x2−2xlnf2−xdx Suy ra 2J=∫02x2−2xlnfxdx+∫02x2−2xlnf2−xdx =∫02x2−2xlnfx.f2−xdx =∫02x2−2xlne2x2−4xdx=∫02x2−2x2x2−4xdx=3215 ⇒J=1615 Vậy I=−3J=−165.

Câu hỏi:

17/05/2022 742

Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $[0; 2]$ . Biết $f (0) = 1$ và $f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x}$ với mọi $x \in [0; 2] .$ Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .$

A.

I = - \frac{14}{3} .

B.

I = - \frac{32}{5} .

C.

I = - \frac{16}{3} .

D.

I = - \frac{16}{5} .

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Từ giả thiết $f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x} \overset{x = 2}{\to} f (2) = 1.$

Ta có $I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .$

Đặt $\{\begin{cases} u = x^{3} - 3 x^{2} \\ d v = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = (3 x^{2} - 6 x) d x \\ v = \ln |f (x)| \end{cases}$

Khi đó $I = (x^{3} - 3 x^{2}) \ln |f (x)| |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} 2 \end{array}} - \int_{0}^{2} (3 x^{2} - 6 x) \ln |f (x)| d x \overset{f (2) = 1}{=} - 3 \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x)| d x = - 3 J$

Ta có $J = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x)| d x \overset{x = 2 - t}{=} \int_{2}^{0} [{(2 - t)}^{2} - 2 (2 - t)] \ln |f (2 - t)| d (2 - t)$

$= \int_{2}^{0} [{(2 - x)}^{2} - 2 (2 - x)] \ln |f (2 - x)| d (2 - x) = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (2 - x)| d x$

Suy ra $2 J = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x)| d x + \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (2 - x)| d x$

$= \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x) . f (2 - x)| d x$

$= \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln e^{2 x^{2} - 4 x} d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) (2 x^{2} - 4 x) d x = \frac{32}{15}$

$\Rightarrow J = \frac{16}{15}$

Vậy $I = - 3 J = - \frac{16}{5} .$

Bình luận

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(α)$ đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng $(α)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_{1}, V_{2}$ với $V_{1} < V_{2} .$ Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

A.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4} .

B.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{8} .

C.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{8} .

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5} .$

Xem đáp án » 17/05/2022 2,992

Câu 2:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $[0; 1] .$ Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ với $\forall x \in [0; 1] .$ Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

A.

\frac{3}{2} .

B.

\frac{1}{2} .

C. 1

D. 2.

Xem đáp án » 17/05/2022 2,450

Câu 3:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = [f (x + 2018) + m^{2}]$ có 5 điểm cực trị?

A. 0.

B. 1

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án » 31/05/2022 2,301

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

A.

m > - 3.

B.

[\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 2 \end{array} .

C.

m < - 3.

D.

[\begin{array}{l} - 3 < m \leq 1 \\ m \geq 2 \end{array} .

Xem đáp án » 17/05/2022 1,615

Câu 5:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

$A . y = x^{3} - 2 x + 1 .$

$B . y = \frac{x + 1}{x - 2} .$

$C . y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

$D . y = x^{3} + 3 x - 3 .$

Xem đáp án » 31/05/2022 1,334

Câu 6:

Phương trình $|x^{2} - 2 x| (|x| - 1) = m$ (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án » 31/05/2022 1,261

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $[0; 2]$ . Biết $f (0) = 1$ và $f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x}$ với mọi $x \in [0; 2] .$ Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $[0; 1] .$ Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ với $\forall x \in [0; 1] .$ Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = [f (x + 2018) + m^{2}]$ có 5 điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

Phương trình $|x^{2} - 2 x| (|x| - 1) = m$ (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số fx nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2 . Biết f0=1 và fx.f2−x=e2x2−4x với mọi x∈0;2. Tính tích phân I=∫02x3−3x2.f'xfxdx.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng α đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng α chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là V1,V2 với V1<V2. Tính tỉ số V1V2.

Cho hàm số fx liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1. Biết fx.f1−x=1 với ∀x∈0;1. Tính giá trị I=∫01dx1+fx

Cho đồ thị hàm số y=fx như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm sốy=fx+2018+m2 có 5 điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=2cosx+32cosx−m nghịch biến trên khoảng 0;π3.

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng −∞;+∞

Phương trình x2−2xx−1=m (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $[0; 2]$ . Biết $f (0) = 1$ và $f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x}$ với mọi $x \in [0; 2] .$ Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .$

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $[0; 1] .$ Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ với $\forall x \in [0; 1] .$ Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = [f (x + 2018) + m^{2}]$ có 5 điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

Phương trình $|x^{2} - 2 x| (|x| - 1) = m$ (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?