Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\text{'}{D}^{\text{'}}$  có $AB<BC,BC=3cm.$  Hai mặt phẳng$\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$  và$\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$  hợp với nhau góc $\alpha \left(0<\alpha \le \frac{\pi }{2}\right).$  Đường chéo $B^{\text{'}}D$  hợp với mặt phẳng $\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$  một góc β $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right).$Hai góc $\alpha ,\beta$ thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp $AD{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}.BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$  luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1,V_2$  với $V_1<V_2.$   Tính tỉ số  $\frac{V_1}{V_2}.$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $\left[0;1\right].$ Biết $f\left(x\right).f\left(1-x\right)=1$ với $\forall x\in \left[0;1\right].$  Tính giá trị  $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$

Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left[f\left(x+2018\right)+m^2\right]$ có 5 điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{2\cos x+3}{2\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{3}\right).$   

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất.

Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ 

Phương trình $\left|x^2-2x\right|\left(\left|x\right|-1\right)=m$  (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?