Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z,1z và z+1z . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của z+1z2 bằng A. 2 B. 2 C. 22...

Đáp án B Ta có OA=z, AB=1z−z, BC=z+1z−1z=z, OC=z+1z . Vì OABC là một hình bình hành nên OA=BCAB=OC⇔z=z1z−z=z+1z⇔1z−z=z+1z⇔1−z2z=1+z2z⇔1−z2=1+z2 Đặt z=x+yi⇒z2=x2−y2+2xyi vậy điều kiện trở thành: 1−z2=1+z2⇔x2−y2−1+2xyi=x2−y2+1+2xyi ⇔x2−y2−12+4x2y2=x2−y2+12+4x2y2⇔x2−y2−12=x2−y2+12. ⇔x2−y2−1=x2−y2+1x2−y2−1=−x2−y2+1⇔x2−y2=0⇔y2=x2Khi đó z+1z2=1+z2z2=x2−y2+1+2xyix+yi2=x2−y2+12+4x2y2x2+y2 =2x2+12x2≥22x2.12x2=2 Dấu bằng xảy ra tại 2x2=12x2y2=x2x>0⇔x;y=12;−12,12;12

Câu hỏi:

11/05/2022 266

Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, $\frac{1}{z}$ và $z + \frac{1}{z}$ . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của ${|z + \frac{1}{z}|}^{2}$ bằng

\sqrt{2}

B. 2

2 \sqrt{2}

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Ta có $O A = |z|, A B = |\frac{1}{z} - z|, B C = |(z + \frac{1}{z}) - \frac{1}{z}| = |z|, O C = |z + \frac{1}{z}|$ .

Vì OABC là một hình bình hành nên $\{\begin{cases} O A = B C \\ A B = O C \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |z| = |z| \\ |\frac{1}{z} - z| = |z + \frac{1}{z}| \end{cases} \Leftrightarrow |\frac{1}{z} - z| = |z + \frac{1}{z}| \Leftrightarrow |\frac{1 - z^{2}}{z}| = |\frac{1 + z^{2}}{z}| \Leftrightarrow |1 - z^{2}| = |1 + z^{2}|$

Đặt $z = x + y i \Rightarrow z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 x y i$ vậy điều kiện trở thành: $|1 - z^{2}| = |1 + z^{2}| \Leftrightarrow |(x^{2} - y^{2} - 1) + 2 x y i| = |(x^{2} - y^{2} + 1) + 2 x y i|$

$\Leftrightarrow {(x^{2} - y^{2} - 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = {(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2} \Leftrightarrow {(x^{2} - y^{2} - 1)}^{2} = {(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2}$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} - 1 = x^{2} - y^{2} + 1 \\ x^{2} - y^{2} - 1 = - (x^{2} - y^{2} + 1) \end{array} \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} = 0 \Leftrightarrow y^{2} = x^{2}$ Khi đó ${|z + \frac{1}{z}|}^{2} = {|\frac{1 + z^{2}}{z}|}^{2} = {|\frac{(x^{2} - y^{2} + 1) + 2 x y i}{x + y i}|}^{2} = \frac{{(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

$= 2 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} \geq 2 \sqrt{2 x^{2} . \frac{1}{2 x^{2}}} = 2$

Dấu bằng xảy ra tại $\{\begin{cases} 2 x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} \\ y^{2} = x^{2} \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow (x; y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}})$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng $60 °$ . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}

d = \frac{a \sqrt{5}}{2}

d = \frac{\sqrt{3}}{2}

Lời giải

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng 60 độ . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a. (ảnh 1)

Xác định $60 ° = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, A D} = \hat{S D A}$ và $S A = A D . \tan \hat{S D A} = 2 a \sqrt{3}$ .

Ta có $d (C, (S B D)) = d (A, (S B D))$ .

Kẻ $A E ⊥ B D$ và kẻ $A K ⊥ S E$ .

Khi đó $d (A, (S B D)) = A K$ .

Tam giác vuông BAD, có $A E = \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$ .

Tam giác vuông SAE, có $A K = \frac{S A . A E}{\sqrt{S A^{2} + A E^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $d (C, (S B D)) = A K = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 2

Tìm m để đường thẳng $y = x - 2 m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt?

[\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq - 3 \end{array}

- 3 < m < 1

C. $- 3 \leq m \leq 1$

[\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 3 \end{array}

Lời giải

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = x - 2 m$ và đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ là:

(với $x \neq - 1$ ) $\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 3 - 2 m = 0$ (1).

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ {(- 1)}^{2} - 2 m . (- 1) + 3 - 2 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 2 m - 3 > 0 \\ 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 3 \end{array}$ .

Vậy $[\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 3 \end{array}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ . Tìm các điểm $M, N \in (S)$ sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất, với (P): x-2y+2z+7=0 .

A. M(2;2;0), N(0;-2;4)

M (2; - 2; 4), N (0; 2; 0)

M (3; - 2; 1), N (0; - 2; 4)

M (2; 2; 0), N (0; 2; 0)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

A. 202 triệu đồng

B. 208 triệu đồng

C. 218 triệu đồng

D. 200 triệu đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức $L_{M} = \log \frac{k}{R^{2}}$ (Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là $L_{A} = 3$ (Ben) và $L_{B} = 5$ (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy).

A. 3,59 (Ben)

B. 3,06 (Ben)

C. 3,69 (Ben)

D. 4 (Ben)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào sau đây?

y = x^{3} - 3 x^{2} - 1

y = x^{4} - 2 x^{2} - 1

y = x^{4} + 2 x^{2} - 1

y = x^{2} - 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M (1; - 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 3 = 0$ .

A. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - 2 t \\ z = - 2 + 3 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 2 - 3 t \end{cases}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z,1z và z+1z . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của z+1z2 bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng 60° . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a.

Tìm m để đường thẳngy=x−2m cắt đồ thị hàm số y=x−3x+1 tại hai điểm phân biệt?

Cho mặt cầu S:x−12+y2+z−22=9. Tìm các điểm M, N∈S sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất, với (P): x-2y+2z+7=0 .

Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M1;−2;3 và vuông góc với mặt phẳngP:x+y−2z+3=0 .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, $\frac{1}{z}$ và $z + \frac{1}{z}$ . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của ${|z + \frac{1}{z}|}^{2}$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng $60 °$ . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a.

Tìm m để đường thẳng $y = x - 2 m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt?

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ . Tìm các điểm $M, N \in (S)$ sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất, với (P): x-2y+2z+7=0 .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M (1; - 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 3 = 0$ .