Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).

Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC²

Suy ra: BC² = AB² – AC² = (x + 1)² – x² = 2x + 1 $\Rightarrow BC=\sqrt{2x+1}$  (m).

Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.

Suy ra $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$   (m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có:$\tan \widehat{DEG}=\frac{DG}{GE}$

Mà $\widehat{DEG}=60°$ , DG = x, $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$

Do đó: $\frac{x}{\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}}=\tan 60°=\sqrt{3}$

Suy ra: $x=\sqrt{3}\left(\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}\right)$

$\iff x=\sqrt{3\left(2x+1\right)}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   $\iff \sqrt{3\left(2x+1\right)}=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$(1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: $3\left(2x+1\right)={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\iff 6x+3=x^2+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}$

$\iff x^2+\left(\sqrt{3}-6\right)x-\frac{9}{4}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{3}+\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx \mathrm{4,7}\\ x=\frac{6-\sqrt{3}-\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx -\mathrm{0,5}\end{array}\right.$

  Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.

Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.

Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC – CD = 0,8 – x (km).

Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có:

AD² = AC² + CD² = (0,3)² + x² = 0,09 + x²

 $\Rightarrow AD=\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}$ (km)

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là $\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}$  km, mà vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là $t_1=\frac{\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{6}$  (giờ).

Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 – x (km) và vận tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là  $t_2=\frac{\mathrm{0,8}-x}{10}$ (giờ).

Tổng thời gian người đó chèo thuyền là  t₁ + t₂ = t = 0,12 (giờ).

Khi đó ta có phương trình:  $\frac{\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{6}+\frac{\mathrm{0,8}-x}{10}=\mathrm{0,12}$

$\iff \frac{5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{30}+\frac{3\left(\mathrm{0,8}-x\right)}{30}=\mathrm{0,12}$

$\iff 5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}+\mathrm{2,4}-3x=\mathrm{3,6}$

$\iff 5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}=\mathrm{1,2}+3x$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(0,09 + x²) = (1,2 + 3x)²

⇔ 2,25 + 25x² = 1,44 + 7,2x + 9x²

⇔ 16x² – 7,2x + 0,81 = 0

⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Suy ra x = 0,225 km = 225 m.

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225 m.