Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$ ;

b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$ .

Đổi 148 phút = $\frac{37}{15}$  giờ.

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC – BM = 7 – x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lý Pythagore ta có:

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x²

^{$\Rightarrow AM=\sqrt{16+x^2}$}

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là$\sqrt{16+x^2}$  km và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là $t_1=\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}$  (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 – x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là $t_2=\frac{7-x}{5}$  (giờ).

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = $\frac{37}{15}$  (giờ).

Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{37}{15}$$\iff 5\sqrt{16+x^2}+3.\left(7-x\right)=37$

 $\iff 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(16 + x²) = (16 + 3x)²

⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x²

⇔ 16x² – 96x + 144 = 0

 ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).

Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC²

Suy ra: BC² = AB² – AC² = (x + 1)² – x² = 2x + 1 $\Rightarrow BC=\sqrt{2x+1}$  (m).

Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.

Suy ra $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$   (m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có:$\tan \widehat{DEG}=\frac{DG}{GE}$

Mà $\widehat{DEG}=60°$ , DG = x, $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$

Do đó: $\frac{x}{\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}}=\tan 60°=\sqrt{3}$

Suy ra: $x=\sqrt{3}\left(\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}\right)$

$\iff x=\sqrt{3\left(2x+1\right)}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   $\iff \sqrt{3\left(2x+1\right)}=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$(1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: $3\left(2x+1\right)={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\iff 6x+3=x^2+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}$

$\iff x^2+\left(\sqrt{3}-6\right)x-\frac{9}{4}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{3}+\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx \mathrm{4,7}\\ x=\frac{6-\sqrt{3}-\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx -\mathrm{0,5}\end{array}\right.$

  Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.