Câu hỏi:

13/07/2024 9,709

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng (ảnh 1)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}$

$= (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \bar{G C})$

$= 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$

$= 3 \vec{M G} + \vec{0} = 3 \vec{M G}$ .

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ ;

b) $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN (ảnh 1)

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G M}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G N }$ .

Lại cso G là trung điểm của MN nên $\vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Khi đó: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D}$

$= (\vec{E G} + \vec{G A}) + (\vec{E G} + \vec{G B}) + (\vec{E G} + \vec{G C}) + (\vec{E G} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{E G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

= $4 \vec{E G} + \vec{0}$

$= 4 \vec{E G}$ .

Vậy $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = \vec{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\vec{E A} + \vec{0} = 4 \vec{E G}$

Vậy $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ .

c) Theo câu b ta có: $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ nên hai vectơ $\vec{E A}, \vec{E G}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG = $\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\vec{A G}$ và $\vec{A E}$ cùng hướng.

Do đó: $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Đặt vecto AB = vecto a, vecto AD = vecto b . Gọi G là trọng tâm của tam giác AB (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $B G = \frac{2}{3} B O$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $B G = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D$ .

Hai vectơ $\vec{B G}, \vec{B D}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{B D}$

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B D}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A D}) = \vec{A B} + \frac{1}{3} (- \vec{A B} + \vec{A D})$

$= (1 - \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

$= \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do đó: $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Ta có: $\vec{C G} = \vec{C A} + \vec{A G} = (- \vec{A C}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{a} + \vec{b}) + (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$

$= (- 1 + \frac{2}{3}) \vec{a} + (- 1 + \frac{1}{3}) \vec{b}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{C G} = - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Câu 3

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}, \vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

a) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{A D}, \vec{D H}, \vec{H E}$ theo hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .