Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn DB→=13BC→, AE→=13AC→,AH→=23AB→. a) Biểu thị mỗi vectơ AD→, DH→, HE→ theo hai vectơ AB→, AC→ . b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Vì DB→=13BC→ nên DB→ và BC→ cùng hướng và DB=13BC . AE→=13AC→ nên AE→, AC→ cùng hướng và AE =13AC. AH→=23AB→ nên AH→, AB→ cùng hướng và AH=23AB . a) + Ta có AD→=AB→+BD→=AB→+−DB→=AB→−DB→ Mà DB→=13BC→ . Do đó: AD→=AB→−13BC→=AB→−13BA→+AC→ =AB→−13BA→−13AC→=AB→−13−AB→−13AC→ =AB→+13AB→−13AC→ =43AB→−13AC→. Suy ra: AD→=43AB→−13AC→. + Ta có: DH→=DA→+AH→=−AD→+AH→ Mà AH→=23AB→ , AD→=43AB→−13AC→ . Do đó: DH→=−43AB→−13AC→+23AB→ =−43AB→+13AC→+23AB→ =23−43AB→+13AC→ =−23AB→+13AC→. Vậy DH→=−23AB→+13AC→ . + Ta có: HE→=HA→+AE→=−AH→+AE→ Mà AE→=13AC→ , AH→=23AB→ . Do đó:HE→=−23AB→+13AC→=−23AB→+13AC→ . Vậy HE→=−23AB→+13AC→ . b) Theo câu a, ta có: DH→=−23AB→+13AC→ và HE→=−23AB→+13AC→ . Do đó: DH→=HE→ . Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.

Câu hỏi:

13/07/2024 15,956

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}, \vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

a) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{A D}, \vec{D H}, \vec{H E}$ theo hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ nên $\vec{D B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và $D B = \frac{1}{3} B C$ .

$\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ nên $\vec{A E}, \vec{A C}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3} A C$ .

$\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ nên $\vec{A H}, \vec{A B}$ cùng hướng và $A H = \frac{2}{3} A B$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn (ảnh 1)

a) + Ta có $\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A B} + (- \vec{D B})$ $= \vec{A B} - \vec{D B}$

Mà $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ .

Do đó: $\vec{A D} = \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ $= \vec{A B} - \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ $= \vec{A B} - \frac{1}{3} (- \vec{A B}) - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Suy ra: $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

+ Ta có: $\vec{D H} = \vec{D A} + \vec{A H} = (- \vec{A D}) + \vec{A H}$

Mà $\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ , $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó: $\vec{D H} = - (\frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}) + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= (- \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= (\frac{2}{3} - \frac{4}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{D H} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

+ Ta có: $\vec{H E} = \vec{H A} + \vec{A E}$ $= (- \vec{A H}) + \vec{A E}$

Mà $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ , $\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

Do đó: $\vec{H E} = (- \frac{2}{3} \vec{A B}) + \frac{1}{3} \vec{A C}$ $= \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{H E} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

b) Theo câu a, ta có: $\vec{D H} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H E} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó: $\vec{D H} = \vec{H E}$ .

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ ;

b) $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN (ảnh 1)

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G M}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G N }$ .

Lại cso G là trung điểm của MN nên $\vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Khi đó: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D}$

$= (\vec{E G} + \vec{G A}) + (\vec{E G} + \vec{G B}) + (\vec{E G} + \vec{G C}) + (\vec{E G} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{E G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

= $4 \vec{E G} + \vec{0}$

$= 4 \vec{E G}$ .

Vậy $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = \vec{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\vec{E A} + \vec{0} = 4 \vec{E G}$

Vậy $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ .

c) Theo câu b ta có: $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ nên hai vectơ $\vec{E A}, \vec{E G}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG = $\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\vec{A G}$ và $\vec{A E}$ cùng hướng.

Do đó: $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Đặt vecto AB = vecto a, vecto AD = vecto b . Gọi G là trọng tâm của tam giác AB (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $B G = \frac{2}{3} B O$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $B G = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D$ .

Hai vectơ $\vec{B G}, \vec{B D}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{B D}$

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B D}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A D}) = \vec{A B} + \frac{1}{3} (- \vec{A B} + \vec{A D})$

$= (1 - \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

$= \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do đó: $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Ta có: $\vec{C G} = \vec{C A} + \vec{A G} = (- \vec{A C}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{a} + \vec{b}) + (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$

$= (- 1 + \frac{2}{3}) \vec{a} + (- 1 + \frac{1}{3}) \vec{b}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{C G} = - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Câu 3

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .