Câu hỏi:

13/07/2024 24,196

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ ;

b) $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN (ảnh 1)

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G M}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G N }$ .

Lại cso G là trung điểm của MN nên $\vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Khi đó: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D}$

$= (\vec{E G} + \vec{G A}) + (\vec{E G} + \vec{G B}) + (\vec{E G} + \vec{G C}) + (\vec{E G} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{E G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

= $4 \vec{E G} + \vec{0}$

$= 4 \vec{E G}$ .

Vậy $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = \vec{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\vec{E A} + \vec{0} = 4 \vec{E G}$

Vậy $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ .

c) Theo câu b ta có: $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ nên hai vectơ $\vec{E A}, \vec{E G}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG = $\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\vec{A G}$ và $\vec{A E}$ cùng hướng.

Do đó: $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Đặt vecto AB = vecto a, vecto AD = vecto b . Gọi G là trọng tâm của tam giác AB (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $B G = \frac{2}{3} B O$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $B G = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D$ .

Hai vectơ $\vec{B G}, \vec{B D}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{B D}$

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B D}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A D}) = \vec{A B} + \frac{1}{3} (- \vec{A B} + \vec{A D})$

$= (1 - \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

$= \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do đó: $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Ta có: $\vec{C G} = \vec{C A} + \vec{A G} = (- \vec{A C}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{a} + \vec{b}) + (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$

$= (- 1 + \frac{2}{3}) \vec{a} + (- 1 + \frac{1}{3}) \vec{b}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{C G} = - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Câu 2

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

\vec{M N} = 2 \vec{P Q}

;

\vec{M Q} = 2 \vec{N P}

;

\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}

;

\vec{M Q} = - 2 \vec{N P}

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{P Q}$ ngược hướng.

Mà MN = 2 PQ nên $\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}$ .

Câu 3

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}, \vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

a) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{A D}, \vec{D H}, \vec{H E}$ theo hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hình bình hành ABCD. Đặt AB→=a→, AD→=b→ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ AG→, CG→ theo hai vectơ a→, b→ .

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn DB→=13BC→, AE→=13AC→,AH→=23AB→. a) Biểu thị mỗi vectơ AD→, DH→, HE→ theo hai vectơ AB→, AC→ . b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử AB→=a→ , AC→=b→ . Biểu diễn các vectơ BC→,BD→, BE→, AD→, AE→ theo a→, b→ .

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. a) Xác định điểm C thỏa mãn AC→=12AB→ . b) Xác định điểm D thỏa mãn AD→=−12AB→ .

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: a) AP→+12BC→=AN→; b) BC→+2MP→=BA→ .

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .