Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án

Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu.

Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  là như thế nào?

Gọi B là trung điểm của AC.

Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$ .

Quan sát vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ , nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ $2\overrightarrow{AB}$  với $\overrightarrow{AB}$ .

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: $\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AM};\overrightarrow{GN}=b\overrightarrow{GB}$ .

Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ .

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$  .

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  khác $\overrightarrow{0}$  sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$  với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$  có cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$  cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AD}$ ,

b) $\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{DC}$ .

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$;

b) $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$  theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$ ;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ .

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$  theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .