Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$  theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN\text{}}$ .

Lại cso G là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .

Khi đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$

$=\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

=  $4\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{0}$

$=4\overrightarrow{EG}$.

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ .

c) Theo câu b ta có: $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$  nên hai vectơ $\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EG}$  cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG =$\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\overrightarrow{AG}$  và $\overrightarrow{AE}$  cùng hướng.

Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ .

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $BG=\frac{2}{3}BO$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $BG=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BD}$  cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

Ta có: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

$=\left(1-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

Do đó:$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

Ta có: $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=\left(-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)$

$=\left(-1+\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{a}+\left(-1+\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{b}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

  Vậy $\overrightarrow{CG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ .