Cho góc $\alpha \left(0^0<\alpha <{180}^0\right)$ thỏa mãn $\tan \alpha =3$.

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3cos\alpha }{3\sin \alpha +2cos\alpha }.$

Chứng minh các hệ thức sau:

a) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;$

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }\left(\alpha \ne {90}^0\right);$

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(0^0<\alpha <{180}^0\right).$

Một chiếc đu quay có bán kính 75m, tâm của vòng quay ở độ cao 90m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào Cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (2sin30⁰ + cos135⁰ – 3tan150⁰).(cos180⁰ – cot60⁰);

b) sin²90⁰ + cos²120⁰ + cos²0⁰ – tan²60⁰ + cot²135⁰;

c) cos60⁰.sin30⁰ + cos²30⁰.

Chú ý: ${\sin }^2\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^2,co{\mathrm{s}}^2\alpha ={\left(co\mathrm{s}\alpha \right)}^2,{\tan }^2\alpha ={\left(\tan \alpha \right)}^2,{\cot }^2\alpha ={\left(\cot \alpha \right)}^2.$

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

$\alpha ={90}^0;$

$\alpha <{90}^0;$

$\alpha >{90}^0;$

b) Khi $0^0<\alpha <{90}^0$, nêu mối quan hệ giữa $cos\alpha ,\sin \alpha$với hoành độ và tung độ của điểm M.

Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và ${90}^0-\alpha$$\left(\widehat{xOM}=\alpha ,\widehat{xON}={90}^0-\alpha \right)$. Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha$ và $\sin \left({90}^0-\alpha \right)$

Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin100⁰ + sin80⁰ + cos16⁰ + cos 164⁰;

b) $2\sin \left({180}^0-\alpha \right)\cot \alpha -c\text{os}\left({180}^0-\alpha \right).\tan \alpha .c\text{os}\left({180}^0-\alpha \right)$ với $0^0<\alpha <{90}^0$.