Cho hàm số fx liên tục trên 0;π2 , biết ∫0π2f2x−22fx.sinx−π4dx=2−π2 . Tính tích phân I=∫0π2fxdx . A. I=0 B. I=π4 C. I=1 D. I=π2

Đáp án A Ta có ∫0π22sin2x−π4dx=−2−π2 . Do đó giả thiết tương đương với ∫0π2f2x−22fx.sinx−π4+2sin2x−π4dx=0 . Suy ra fx=2sinx−π4 . Vậy I=∫0π2fxdx=2∫0π2sinx−π4dx=0 .

Câu hỏi:

26/05/2022 2,936

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $[0; \frac{π}{2}]$ , biết $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{2 - π}{2}$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ .

A. I=0

I = \frac{π}{4}

I = 1

I = \frac{π}{2}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Ta có $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x = - \frac{2 - π}{2}$ .

Do đó giả thiết tương đương với

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} f (x) . \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4})] d x = 0$

Suy ra $f (x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Vậy $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4}) d x = 0$ .

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y = x^{3} + x - 5$

y = x^{4} + 3 x^{2} + 4

y = x^{2} + 1

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

Lời giải

Đáp án A

Xét $y = x^{3} + x - 5$ , ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên .

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ. Các giá trị của tham số m để phương trình $\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3$ có ba nghiệm phân biệt là

m = \pm \frac{\sqrt{37}}{2}

m = \frac{\sqrt{3}}{2}

m = - \frac{\sqrt{37}}{2}

m = \frac{\sqrt{37}}{2}

Lời giải

Đáp án C

Ta có $\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3 \Leftrightarrow 4 m^{3} + m = (f^{2} (x) + 3) \sqrt{2 f^{2} (x) + 5}$

$\Leftrightarrow 8 m^{3} + 2 m = (2 f^{2} (x) + 6) \sqrt{2 f^{2} (x) + 5}$

$\Leftrightarrow {(2 m)}^{3} = (2 f^{2} (x) + 5) \sqrt{2 f^{2} (x) + 5} + \sqrt{f^{2} (x) + 5}$

(*)

Xét hàm số $g (t) = t^{3} + t$ có $g^{'} (t) = 3 t^{2} + 1 > 0; \forall t \Rightarrow g (t)$ là hàm số đồng biến trên .

Phương trình (*) suy ra $g (2 m) = g (\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}) \Leftrightarrow \sqrt{2 f^{2} (x) + 5} = 2 m$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ 2 f^{2} (x) + 5 = 4 m^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ f^{2} (x) = \frac{4 m^{2} - 5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > \frac{\sqrt{5}}{2} \\ [\begin{array}{l} f (x) = \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} (1) \\ f (x) = - \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} (2) \end{array} \end{cases}$

(vì $f (x) = 0$ chỉ có hai nghiệm phân biệt nên $m > \frac{\sqrt{5}}{2}$ ).

+ Vì $- \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} < 0$ nên từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f (x) = - \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}}$ có một nghiệm duy nhất.

Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình $f (x) = \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}}$ có hai nghiệm phân biệt.

+ Vì $\sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} > 0$ nên từ đồ thị hàm số

$\Rightarrow \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} = 4 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 5 = 32 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{\sqrt{37}}{2} (thoa man) \\ m = - \frac{\sqrt{37}}{2} (l o a i) \end{array}$ .

Câu 3

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R . Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f (2 \sin x) - 2 \sin^{2} x < m$ nghiệm đúng với mọi $x \in (0; π)$ khi và chỉ khi

m \geq f (1) - \frac{1}{2}

m > f (1) - \frac{1}{2}

m \geq f (0) - \frac{1}{2}

m > f (0) - \frac{1}{2}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 27$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của (P) là $a x + b y - z + c = 0$ thì

a + b + c = 1

a + b + c = - 6

a + b + c = 6

a + b + c = 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4$ và một điểm M(2;3;1). Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới (S), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn SC.

r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{2}}{3}

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính $a + b + c$ , biết tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c để $\int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln xdx = a + b \ln 2 + c \ln 3$ . Giá trị của $a + b + c$ bằng

A. 19

B. -19

C. 5

D. -5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $[0; \frac{π}{2}]$ , biết $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{2 - π}{2}$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ. Các giá trị của tham số m để phương trình $\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3$ có ba nghiệm phân biệt là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R . Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f (2 \sin x) - 2 \sin^{2} x < m$ nghiệm đúng với mọi $x \in (0; π)$ khi và chỉ khi

Tính $a + b + c$ , biết tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c để $\int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln xdx = a + b \ln 2 + c \ln 3$ . Giá trị của $a + b + c$ bằng