Cho hình chóp S.ABC có các cạnh $SA=BC=3;SB=AC=4;SC=AB=2\sqrt{5}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Đáp án D

Đặt $SA=SB=a,SB=AC=b,SC=AB=c$ .

Dựng hình chóp S.A’B’C’ sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B’C’, C’A’, A’B’.

Dễ thấy $\Delta ABC$  đồng dạng với $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  theo tỉ số $\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{4}.V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$ .

Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A’B’C’.

$\Rightarrow A\text{'}B\text{'}=2AB=2c;B\text{'}C\text{'}=2BC=2a;A\text{'}C\text{'}=2AC=2b$.

$\Rightarrow \Delta SA\text{'}B\text{'},\Delta SB\text{'}C\text{'},\Delta SC\text{'}A\text{'}$ là các tam giác vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) $\Rightarrow SA\text{'},SB\text{'},SC\text{'}$  đôi một vuông góc.

$V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{1}{6}.SA\text{'}.SB\text{'}.SC\text{'}\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{24}.SA\text{'}.SB\text{'}.SC\text{'}$.

Áp dụng định lí Pytago ta có: $\left\{\begin{array}{l}SA{\text{'}}^2+SB{\text{'}}^2=4c^2\\ SB{\text{'}}^2+SC{\text{'}}^2=4a^2\\ SA{\text{'}}^2+SC{\text{'}}^2=4b^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}SA{\text{'}}^2=2\left(b^2+c^2-a^2\right)\\ SB{\text{'}}^2=2\left(a^2+c^2-b^2\right)\\ SC{\text{'}}^2=2\left(a^2+b^2-c^2\right)\end{array}\right.$ .

.

Thay $a=\mathrm{3,}b=\mathrm{4,}c=2\sqrt{5}\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{390}}{4}$ .