Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2\left(x-3\right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án D

Phương pháp:

Nếu $\left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(x_0\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0\end{array}\right.\Rightarrow x=x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Cách giải:

$y=x^4-4x^2+3\Rightarrow y\text{'}=4x^3-8x;y\text{'}\text{'}=12x^2-8$

$\left\{\begin{array}{l}y\text{'}=0\\ y\text{'}\text{'}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y\text{'}=4x^3-8x=0\\ 12x^2-8>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}x>\sqrt{\frac{2}{3}}\\ x<-\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\Rightarrow y=-1\\ x=-\sqrt{2}\Rightarrow y=-1\end{array}\right.$

Đáp án A

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ 

Nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=a$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=a\Rightarrow y=a$ là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ 

Nếu $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ hoặc $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ thì $x=a$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

TXĐ: $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{4x^2-1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{2};\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{4x^2-1}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x}}{-\sqrt{4-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{2}$ 

$\Rightarrow$ Đồ thị (C) có TCN là $y=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$ 

$\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{4x^2-1}}=-\infty ;\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{4x^2-1}}=-\infty$ 

$\Rightarrow$ Đồ thị (C) có TCĐ là $x=-\frac{1}{2},x=\frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số (C) có tất cả 4 đường tiệm cận.