Hãy quan sát các đẳng thức sau:

1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

......

Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên 1 + 3 + 5 + ... + (2n –1).

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}.$

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}).

Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}.$

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n\left(n-3\right)}{2}.$

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.