(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x2 + y2 = a2 và số k (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn, gọi H(x0; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộ...

a) Gọi toạ độ của N là (xN; yN). Khi đó HN→=xN−x0;yN−0=xN−x0;yN. Vì HN = kHM nên HN→=kHM→. Mà HM→=x0−x0;y0−0=0;y0 nên xN−x0=k.0yN=k.y0⇒xN=x0yN=ky0. b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có x02+y02=a2. Do đó xN2a2+yN2(ka)2=x02a2+ky02(ka)2=x02a2+y02a2=x02+y02a2=a2a2=1. Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc x2a2+y2(ka)2=1.

Câu hỏi:

13/07/2024 1,553

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x² + y² = a² và số $k$ (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x₀; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).

a) Tính toạ độ của N theo x₀; y₀; k.

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{{(k a)}^{2}} = 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Elip có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi toạ độ của N là (x_N; y_N). Khi đó $\vec{H N} = (x_{N} - x_{0}; y_{N} - 0) = (x_{N} - x_{0}; y_{N}) .$

Vì HN = kHM nên $\vec{H N} = k \vec{H M} .$ Mà $\vec{H M} = (x_{0} - x_{0}; y_{0} - 0) = (0; y_{0})$ nên $\{\begin{cases} x_{N} - x_{0} = k .0 \\ y_{N} = k . y_{0} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{N} = x_{0} \\ y_{N} = k y_{0} \end{cases} .$

b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} .$

Do đó $\frac{x_{N}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{N}^{2}}{{(k a)}^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(k y_{0})}^{2}}{{(k a)}^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} = \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2}} = 1.$

Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{{(k a)}^{2}} = 1$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho elip $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ , điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Có a² = 36, suy ra a = 6.

c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4.

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Ta xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = 6 + $\frac{4}{6}$ x = 6 + $\frac{2}{3}$ x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6

$\Rightarrow - \frac{2}{3} .6 \leq \frac{2}{3} x \leq \frac{2}{3} .6 \Rightarrow - 4 \leq \frac{2}{3} x \leq 4 \Rightarrow 2 \leq 6 + \frac{2}{3} x \leq 10.$

Vậy 2 ≤ MF₁ ≤ 10.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

Câu 2

Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).

Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Câu 3