Giải hệ phương trình sau: x+2y−z=−4x−2y+2z=92x+y−z=−2(IV)

Câu hỏi:

13/07/2024 2,406

Giải hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} x + 2 y - z & = - 4 \\ x - 2 y + 2 z & = 9 \\ 2 x + y - z & = - 2 \end{cases}$ (IV)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu phương pháp Gauss thông qua việc giải hệ phương trình (IV).

Bước 1. Khử số hạng chứa x

– Trừ theo từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), rồi thay phuơng trình mới vào vị trí phuơng trình thứ hai $\to \{\begin{cases} 2 x + 2 y - z = - 4 \\ 4 y - 3 z = - 13 \\ 2 x + y - z = - 2 \end{cases}$

– Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 rồi trừ theo từng vế cho phương trình (3), sau đó thay phuơng trình mới vào vị trí phương trình thứ ba

$\to \{\begin{cases} 2 y - z = - 4 \\ x + 4 y - 3 z = - 13 (4) \\ 3 y - z = - 6 (5) \end{cases}$

Bước 2. Khử số hạng chứa y

Nhân hai vế của phương trình (4) với 3, nhân hai vế của phương trình (5) với 4, rồi trừ theo từng vế hai phương trình vùa tìm được và thay phương trình mới vào vị trí phương trình thứ ba. $\to \{\begin{cases} x + 2 y - z = - 4 \\ 4 y - 3 z = - 13 \\ - 5 z = - 15 \end{cases}$ (V)

Bước 3. Giải hệ phương trình (V) có dạng tam giác, ta được nghiệm (x; y; z) = (1; –1; 3).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bác Thanh chia số tiền 1 tỉ đồng của mình cho ba khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng. Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba. Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho mỗi khoản.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có: x + y + z = 1000 (1)

Số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba, do đó: x = y + z hay x – y – z = 0 (2)

Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng nên 6%x + 8%y + 15%z = 84 hay 6x + 8y + 15z = 8400 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\{\begin{cases} x + y + z = 1000 \\ x - y - z = 0 \\ 6 x + 8 y + 15 z = 8400 \end{cases} .

Giải hệ này ta được x = 500, y = 300, z =200.

Vậy số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 500 triệu đồng, 300 triệu đồng và 200 triệu đồng.

Câu 2

Giải hệ phương trình:

$a) \{\begin{array}{l} 3 x - y - 2 z = 5 \\ 2 x + y + 3 z = 6 \\ 6 x - y - 4 z = 9; \end{array}$

$b) \{\begin{array}{r} x + 2 y + 6 z = 5 \\ - x + y - 2 z = 3 \\ x - 4 y - 2 z = 1; \end{array}$

$c) \{\begin{matrix} x + 4 y - 2 z = 2 \\ - 3 x + y + z = - 2 \\ 5 x + 7 y - 5 z = 6 . \end{matrix}$

Xem đáp án

Lời giải

a) $\{\begin{cases} 3 x - y - 2 z = 5 \\ 2 x + y + 3 z = 6 \\ 6 x - y - 4 z = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 2 z = 5 \\ - 5 y - 13 z = - 8 \\ 6 x - y - 4 z = 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 2 z = 5 \\ - 5 y - 13 z = - 8 \\ - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 2 z = 5 \\ - 5 . (- 1) - 13 z = - 8 \\ y = - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 2 z = 5 \\ - 5 . (- 1) - 13 z = - 8 \\ y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - (- 1) - 2 . 1 = 5 \\ z = 1 \\ y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ z = 1 \\ y = - 1 \end{cases} .$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –1; 1)

b) $\{\begin{array}{r} x + 2 y + 6 z = 5 \\ - x + y - 2 z = 3 \\ x - 4 y - 2 z = 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{r} x + 2 y + 6 z = 5 \\ 3 y + 4 z = 8 \\ 6 y + 8 z = 6 \end{array}$

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{r} x + 2 y + 6 z = 5 \\ 3 y + 4 z = 8 \\ 3 y + 4 z = 3 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{r} x + 2 y + 6 z = 5 \\ 3 y + 4 z = 8 \\ 0 = 5 \end{array} .$

Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{matrix} x + 4 y - 2 z = 2 \\ - 3 x + y + z = - 2 \\ 5 x + 7 y - 5 z = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 4 y - 2 z = 2 \\ 13 y - 5 z = 4 \\ 5 x + 7 y - 5 z = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 4 y - 2 z = 2 \\ 13 y - 5 z = 4 (2) \\ 13 y - 5 z = 4 (3) \end{matrix}$

Hai phương trình (2) và (3) tương đương. Khi đó, hệ phương trình đưa về:

$\{\begin{cases} x + 4 y - 2 z = 2 \\ 13 y - 5 z = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 4 y = 2 z + 2 \\ y = \frac{5 z + 4}{13} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{6 z + 10}{13} \\ y = \frac{5 z + 4}{13} \end{cases} .$

Đặt z = t với t là số thực bất kì, ta có: $x = \frac{6 t + 10}{13}, y = \frac{5 t + 4}{13} .$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

(x ; y ; z) =

(\frac{6 t + 10}{13}; \frac{5 t + 4}{13}; t)

với t là số thực bất kì.

Câu 3