Câu hỏi:
13/07/2024 4,810Cho Sn = 1 + 2 + 22 +... + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n 
ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) S1 = 1 + 21 = 3, S2 = 1 + 2 + 22 = 7, S3 = 1 + 2 + 22 + 23 = 15.
T1 = 21 + 1 – 1 = 3, T2 = 22 + 1 – 1 = 7, T3 = 23 + 1 – 1 = 15.
Vậy S1 = T1; S2 = T2; S3 = T3.
b) Ta dự đoán Sn = Tn với n ℕ*.
+) Khi n = 1, ta có: S1 = T1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Sk + 1 = Tk + 1.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk = Tk.
Khi đó:
Sk + 1 = 1 + 2 + 22 +... + 2k + 2k + 1
= Sk + 2k + 1
= Tk + 2k + 1
= (2k + 1 – 1) + 2k + 1
= 2 . 2k + 1 – 1
= 2k + 2 – 1
= 2(k + 1) + 1 – 1
=Tk + 1.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi nℕ*. Vậy Sn = Tn = 2n + 1 – 1 với nℕ*.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n ℕ*.
Câu 3:
Cho và , với n 
ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 5:
Cho , với n ℕ*.
a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 6:
Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q2 +... + qn – 1 = với n ℕ*.
về câu hỏi!