Câu hỏi:
13/06/2022 3,815Cho Sn = 1 + 2 + 22 +... + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n 
ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) S1 = 1 + 21 = 3, S2 = 1 + 2 + 22 = 7, S3 = 1 + 2 + 22 + 23 = 15.
T1 = 21 + 1 – 1 = 3, T2 = 22 + 1 – 1 = 7, T3 = 23 + 1 – 1 = 15.
Vậy S1 = T1; S2 = T2; S3 = T3.
b) Ta dự đoán Sn = Tn với n ℕ*.
+) Khi n = 1, ta có: S1 = T1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Sk + 1 = Tk + 1.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk = Tk.
Khi đó:
Sk + 1 = 1 + 2 + 22 +... + 2k + 2k + 1
= Sk + 2k + 1
= Tk + 2k + 1
= (2k + 1 – 1) + 2k + 1
= 2 . 2k + 1 – 1
= 2k + 2 – 1
= 2(k + 1) + 1 – 1
=Tk + 1.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi nℕ*. Vậy Sn = Tn = 2n + 1 – 1 với nℕ*.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho và , với n 
ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 4:
Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n ℕ*.
Câu 5:
Cho , với n ℕ*.
a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 6:
Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q2 +... + qn – 1 = với n ℕ*.
về câu hỏi!