Câu hỏi:

13/07/2024 12,264

Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n  *.

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Đề ĐGNL Hà Nội Đề ĐGNL Tp.Hồ Chí Minh Đề ĐGTD Bách Khoa HN

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

+) Khi n = 1, ta có: a1 – b1 = a – b.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

ak + 1 – bk + 1 = (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1]

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

ak – bk = (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1)

Khi đó:

ak + 1 – bk + 1

= a . ak – b . bk

= a . ak – a . bk + a . bk – b . bk

= a . (ak – bk) + bk . (a – b)

= a . (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + bk . (a – b)

= (a – b) . a . (ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)(a . ak – 1 + a . ak – 2b + ... + a . abk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)[a1 + (k – 1) + a1 + (k – 2)b + ... + a2bk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + a2b(k + 1) – 3 + ab(k + 1) –2] + (a – b) . b(k + 1) – 1

= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1].

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n*.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh 16n15n1 chia hết cho 225 với mọi n*.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,343

Câu 2:

Cho Sn = 1 + 2 + 22 +... + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n  *.

a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,763

Câu 3:

Cho Sn=1+12+122++12n Tn=212n, với n  *.

a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,702

Câu 4:

Chứng minh nn > (n + 1)n – 1 với n  *, n ≥ 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,696

Câu 5:

Cho Sn=11.5+15.9+19.13++1(4n3)(4n+1), với n  *.

a) Tính S1, S2, S3, S4.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,322

Câu 6:

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q2 +... + qn – 1 = 1qn1q, với n  *.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,153

Bình luận


Bình luận
Vietjack official store