Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n ℕ*.

Câu hỏi:

13/07/2024 13,762

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Khi n = 1, ta có: a¹ – b¹ = a – b.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

a^{k + 1} – b^{k + 1} = (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}]

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

a^k – b^k = (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1})

Khi đó:

a^{k + 1} – b^{k + 1}

= a . a^k – b . b^k

= a . a^k – a . b^k + a . b^k – b . b^k

= a . (a^k – b^k) + b^k . (a – b)

= a . (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1}) + b^k . (a – b)

= (a – b) . a . (a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)(a . a^{k – 1} + a . a^{k –}²b + ... + a . ab^{k – 2} + a . b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)[a^{1 + (k – 1)} + a^{1 + (k – 2)}b + ... + a²b^{k – 2} + a . b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + a²b^{(k + 1) – 3} + ab^{(k + 1) –2}] + (a – b) . b^{(k + 1) – 1}

= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}].

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,679

Câu 2:

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,017

Câu 3:

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,834

Câu 4:

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,152

Câu 5:

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,941

Câu 6:

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + qⁿ^{– 1} = $\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,416

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n ℕ*.

Bình luận

Chứng minh 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n∈ℕ*.

Cho Sn = 1 + 2 + 22 +... + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n ℕ*. a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Cho Sn=1+12+122+…+12n và Tn=2−12n, với n ℕ*. a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Cho Sn=11.5+15.9+19.13+…+1(4n−3)(4n+1), với n ∈ ℕ*. a) Tính S1, S2, S3, S4. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh nn > (n + 1)n – 1 với n ∈ ℕ*, n ≥ 2.

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q2 +... + qn – 1 = 1−qn1−q, với n ∈ ℕ*.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + qⁿ^{– 1} = $\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$ với n $\in$ ℕ^*.