Câu hỏi:
13/07/2024 14,664Quảng cáo
Trả lời:
+) Khi n = 1, ta có: a1 – b1 = a – b.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
ak + 1 – bk + 1 = (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1]
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
ak – bk = (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1)
Khi đó:
ak + 1 – bk + 1
= a . ak – b . bk
= a . ak – a . bk + a . bk – b . bk
= a . (ak – bk) + bk . (a – b)
= a . (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + bk . (a – b)
= (a – b) . a . (ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + (a – b) . bk
= (a – b)(a . ak – 1 + a . ak – 2b + ... + a . abk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk
= (a – b)[a1 + (k – 1) + a1 + (k – 2)b + ... + a2bk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk
= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + a2b(k + 1) – 3 + ab(k + 1) –2] + (a – b) . b(k + 1) – 1
= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1].
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi nℕ*.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
+) Khi n = 1, ta có: 161 – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16k + 1 – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16k – 15k – 1 chia hết cho 225.
Khi đó:
16k + 1 – 15(k + 1) – 1
= 16 . 16k – 15k – 16
= 16 . 16k – (240k – 225k) – 16
= 16 . 16k – 240k + 225k – 16
= 16 . 16k – 240k – 16 + 225k
= 16 (16k – 15k – 1) + 225k
Vì (16k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16k + 1 – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
Lời giải
a) S1 = 1 + 21 = 3, S2 = 1 + 2 + 22 = 7, S3 = 1 + 2 + 22 + 23 = 15.
T1 = 21 + 1 – 1 = 3, T2 = 22 + 1 – 1 = 7, T3 = 23 + 1 – 1 = 15.
Vậy S1 = T1; S2 = T2; S3 = T3.
b) Ta dự đoán Sn = Tn với n ℕ*.
+) Khi n = 1, ta có: S1 = T1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Sk + 1 = Tk + 1.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk = Tk.
Khi đó:
Sk + 1 = 1 + 2 + 22 +... + 2k + 2k + 1
= Sk + 2k + 1
= Tk + 2k + 1
= (2k + 1 – 1) + 2k + 1
= 2 . 2k + 1 – 1
= 2k + 2 – 1
= 2(k + 1) + 1 – 1
=Tk + 1.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi nℕ*. Vậy Sn = Tn = 2n + 1 – 1 với nℕ*.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
16 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề có đáp án
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
10 Bài tập Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton (có lời giải)
Bộ 2 Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1
10 Bài tập Cách xét tính đúng sai của mệnh đề (có lời giải)
10 Bài tập Cách xét tính đúng sai của mệnh đề (có lời giải)