Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

a) Ta có P(1): "1 = 1²". Mệnh đề này đúng vì 1² = 1.

b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k².

c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]

= k² + [2(k+1) – 1] = k² + (2k + 2 – 1) = k² + 2k + 1 = (k+1)²

Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

+) Khi n = 1, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}-1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}-1=\sqrt{1+1}-1.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}=\sqrt{\left(k+1\right)+1}-1.$ 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-1.$

Khi đó:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\right)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}\right)\left(\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}\right)}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{\left[\left(k+1\right)+1\right]-\left(k+1\right)}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{1}$

$=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\left(\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}\right)$

$=\sqrt{\left(k+1\right)+1}-1.$

+) Khi n = 1, ta có:

${(1+\sqrt{2})}^1=1+\sqrt{2}=1+1.\sqrt{2}\Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1+\sqrt{2})}^{k+1}$ viết được dưới dạng $a_{k+1}+b_{k+1}\sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1} là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(1+\sqrt{2})}^k=a_k+b_k\sqrt{2},$ với a_k, b_k là các số nguyên dương.

Khi đó:

${(1+\sqrt{2})}^{k+1}={(1+\sqrt{2})}^k\left(1+\sqrt{2}\right)$

$=\left(a_k+b_k\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)$

$=a_k.1+b_k\sqrt{2}.1+a_k.\sqrt{2}+b_k\sqrt{2}.\sqrt{2}$

$=a_k+b_k\sqrt{2}+a_k\sqrt{2}+2b_k$

$=\left(a_k+2b_k\right)+\left(a_k+b_k\right)\sqrt{2}.$

Vì a_k, b_k là các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1+\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$ với a_n, b_n là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1-\sqrt{2})}^n=c_n-d_n\sqrt{2}$ với c_n, d_n là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n $\in$ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có: 16¹ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16^k – 15k – 1 chia hết cho 225.

Khi đó:

16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1

= 16 . 16^k – 15k – 16

= 16 . 16^k – (240k – 225k) – 16

= 16 . 16^k – 240k + 225k – 16

= 16 . 16^k – 240k – 16 + 225k

= 16 (16^k – 15k – 1) + 225k

Vì (16^k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16^k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

a) S₁ = 1 + 2¹ = 3, S₂ = 1 + 2 + 2² = 7, S₃ = 1 + 2 + 2² + 2³ = 15.

T₁ = 2^{1 + 1} – 1 = 3, T₂ = 2^{2 + 1} – 1 = 7, T₃ = 2^{3 + 1} – 1 = 15.

Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.

b) Ta dự đoán S_n = T_n với n  ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.

Khi đó:

S_{k + 1} = 1 + 2 + 2² +... + 2^k + 2^{k + 1}

= S_k + 2^{k + 1}

= T_k + 2^{k + 1}

= (2^{k + 1} – 1) + 2^{k + 1}

= 2 . 2^{k + 1} – 1

= 2^{k + 2} – 1

= 2^{(k + 1) + 1} – 1

=T_{k + 1}.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n$\in$ℕ^*. Vậy S_n = T_n = 2^{n + 1} – 1 với n$\in$ℕ^*.

Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.

b) Ta dự đoán S_n = T_n với n $\in$ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.

Khi đó:

$S_{k+1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}$

$=S_k+\frac{1}{2^{k+1}}=T_k+\frac{1}{2^{k+1}}=\left(2-\frac{1}{2^k}\right)+\frac{1}{2^{k+1}}$

$=2-\left(\frac{1}{2^k}-\frac{1}{2^{k+1}}\right)=2-\left(\frac{2}{2^{k+1}}-\frac{1}{2^{k+1}}\right)$

$=2-\frac{1}{2^{k+1}}=T_{k+1}.$