Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ${(1+\sqrt{2})}^n, {(1-\sqrt{2})}^n$ lần lượt viết được ở dạng $a_n+b_n\sqrt{2}, a_n-b_n\sqrt{2}$, trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

+) Khi n = 1, ta có:

${(1+\sqrt{2})}^1=1+\sqrt{2}=1+1.\sqrt{2}\Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1+\sqrt{2})}^{k+1}$ viết được dưới dạng $a_{k+1}+b_{k+1}\sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1} là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(1+\sqrt{2})}^k=a_k+b_k\sqrt{2},$ với a_k, b_k là các số nguyên dương.

Khi đó:

${(1+\sqrt{2})}^{k+1}={(1+\sqrt{2})}^k\left(1+\sqrt{2}\right)$

$=\left(a_k+b_k\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)$

$=a_k.1+b_k\sqrt{2}.1+a_k.\sqrt{2}+b_k\sqrt{2}.\sqrt{2}$

$=a_k+b_k\sqrt{2}+a_k\sqrt{2}+2b_k$

$=\left(a_k+2b_k\right)+\left(a_k+b_k\right)\sqrt{2}.$

Vì a_k, b_k là các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1+\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$ với a_n, b_n là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1-\sqrt{2})}^n=c_n-d_n\sqrt{2}$ với c_n, d_n là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n $\in$ ℕ^*.