Câu hỏi:

13/07/2024 1,318 Lưu

Chứng minh với mọi n *, (1+2)n, (12)n lần lượt viết được ở dạng an+bn2, anbn2, trong đó an, bn là các số nguyên dương.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

+) Khi n = 1, ta có:

(1+2)1=1+2=1+1.2 a1 = 1, b1 = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (1+2)k+1 viết được dưới dạng ak+1+bk+12, trong đó ak + 1, bk + 1 là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

(1+2)k=ak+bk2, với ak, bk là các số nguyên dương.

Khi đó:

(1+2)k+1=(1+2)k1+2

=ak+bk21+2

=ak.1+bk2.1+ak.2+bk2.2

=ak+bk2+ak2+2bk

=ak+2bk+ak+bk2.

Vì ak, bk là các số nguyên dương nên ak + 2bk và ak + bk cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n  *.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi  * thì (1+2)n=anbn2 với an, bn là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi  * thì (12)n=cndn2 với cn, dn là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh an = cn và bn = dn với mọi  *.

Ta có: (1+2)n12n=1+212n=1n

an+bn2cndn2=1n

ancn2bndn+bncnandn2=1n

ancn2bndn=1n  1bncnandn=0  2.

Từ (2) ta suy ra andn=bncnancn=bndn=k với k > 0 (vì an, bn, cn, dn là các số nguyên dương)

an=kcn,bn=kdn. Thế vào (1) ta được:

kcncn2kdndn=1nkcn22dn2=1n

1    kk=1an = cn và bn = dn.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

+) Khi n = 1, ta có: a1 – b1 = a – b.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

ak + 1 – bk + 1 = (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1]

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

ak – bk = (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1)

Khi đó:

ak + 1 – bk + 1

= a . ak – b . bk

= a . ak – a . bk + a . bk – b . bk

= a . (ak – bk) + bk . (a – b)

= a . (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + bk . (a – b)

= (a – b) . a . (ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)(a . ak – 1 + a . ak – 2b + ... + a . abk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)[a1 + (k – 1) + a1 + (k – 2)b + ... + a2bk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + a2b(k + 1) – 3 + ab(k + 1) –2] + (a – b) . b(k + 1) – 1

= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1].

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n*.

Lời giải

+) Khi n = 1, ta có: 16115n1 = 0 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16k + 115(k + 1) – 1 chia hết cho 225.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16k15k – 1 chia hết cho 225.

Khi đó:

16k + 115(k + 1) – 1

= 16 . 16k – 15k – 16

= 16 . 16k – (240k – 225k) – 16

= 16 . 16k – 240k + 225k – 16

= 16 . 16k – 240k – 16 + 225k

= 16 (16k15k – 1) + 225k

Vì (16k15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16k15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16k + 115(k + 1) – 1 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n  *.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP