Câu hỏi:
13/07/2024 807Chứng minh với mọi n ℕ*, lần lượt viết được ở dạng , trong đó an, bn là các số nguyên dương.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
+) Khi n = 1, ta có:
a1 = 1, b1 = 1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: viết được dưới dạng trong đó ak + 1, bk + 1 là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
với ak, bk là các số nguyên dương.
Khi đó:
Vì ak, bk là các số nguyên dương nên ak + 2bk và ak + bk cũng là các số nguyên dương.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
+) Theo chứng minh trên ta có:
Với mọi n ℕ* thì với an, bn là các số nguyên dương.
Chứng minh tương tự ta được:
Với mọi n ℕ* thì với cn, dn là các số nguyên dương.
Giờ ta chứng minh an = cn và bn = dn với mọi n ℕ*.
Ta có:
Từ (2) ta suy ra với k > 0 (vì an, bn, cn, dn là các số nguyên dương)
Thế vào (1) ta được:
an = cn và bn = dn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n 
ℕ*.
Câu 3:
Cho Sn = 1 + 2 + 22 +... + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.Câu 4:
Cho và , với n 
ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 6:
Cho , với n ℕ*.
a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 7:
Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q2 +... + qn – 1 = với n ℕ*.
về câu hỏi!