Cho Sn=11.5+15.9+19.13+…+1(4n−3)(4n+1), với n ∈ ℕ*. a) Tính S1, S2, S3, S4. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

a) S1=11.5=15, S2=11.5+15.9=29,S3=11.5+15.9+19.13=313, S4=11.5+15.9+19.13+113.17=417. b) Ta dự đoán Sn=n4n+1. +) Khi n = 1, ta có: S1=15=14 . 1+1. Vậy mệnh đề đúng với n = 1. +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Sk+1=k+14k+1+1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk=k4k+1. Khi đó: Sk+1=11.5+15.9+19.13+…+1(4n−3)(4n+1)+14k+1−34k+1+1 =Sk+14k+1−34k+1+1 =k4k+1+14k+1−34k+1+1 =k4k+1+14k+14k+1+1 =k4k+1+14k+14k+1+1+14k+14k+1+1 =k4k+54k+14k+1+1+14k+14k+1+1 =4k2+5k4k+14k+1+1+14k+14k+1+1 =4k2+5k+14k+14k+1+1 =4k+1k+14k+14k+1+1 =k+14k+1+1. Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*. Vậy Sn=n4n+1 với n ℕ*.

Câu hỏi:

13/07/2024 3,160

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $S_{1} = \frac{1}{1.5} = \frac{1}{5}, S_{2} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} = \frac{2}{9}, S_{3} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} = \frac{3}{13},$

$S_{4} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \frac{1}{13.17} = \frac{4}{17} .$

b) Ta dự đoán $S_{n} = \frac{n}{4 n + 1} .$

+) Khi n = 1, ta có: $S_{1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{4 . 1 + 1} .$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $S_{k + 1} = \frac{k + 1}{4 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $S_{k} = \frac{k}{4 k + 1} .$

Khi đó:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{4 k + 1} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{4 k + 1} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k [4 (k + 1) + 1]}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k (4 k + 5)}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{4 k^{2} + 5 k}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{4 k^{2} + 5 k + 1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{(4 k + 1) (k + 1)}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{(k + 1)}{4 (k + 1) + 1} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Vậy $S_{n} = \frac{n}{4 n + 1}$ với n ℕ^*.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 12,190

Câu 2:

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,322

Câu 3:

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,749

Câu 4:

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,698

Câu 5:

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,688

Câu 6:

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + qⁿ^{– 1} = $\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,134

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP