Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có: a) 11+2+12+3+…+1n+n+1=n+1−1. b) 23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯n3−1n3+1=2n2+n+13n(n+1).

Câu hỏi:

13/07/2024 394

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:

a) $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1.$

b) $\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{2 (n^{2} + n + 1)}{3 n (n + 1)} .$

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Khi n = 1, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{1} + \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 = \sqrt{1 + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}} = \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - 1.$

Khi đó:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{(\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}) (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{[(k + 1) + 1] - (k + 1)}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{1}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})$

$= \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

+) Khi n = 2, ta có:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} = \frac{7}{9} = \frac{2 (2^{2} + 2 + 1)}{3 . 2 (2 + 1)} .$

Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1} = \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} = \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} .$

Khi đó:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= (\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1}) . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{[(k + 1) - 1] [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [{(k + 1)}^{2} - (k + 1) + 1]}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [(k^{2} + 2 k + 1) - (k + 1) + 1]}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] (k^{2} + k + 1)}$

$= \frac{2}{3 (k + 1)} . \frac{[{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1]}$

$= \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 11,126

Câu 2:

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,118

Câu 3:

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,515

Câu 4:

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,544

Câu 5:

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,530

Câu 6:

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + qⁿ^{– 1} = $\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,002

Câu 7:

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,805

Xem thêm các câu hỏi khác »