Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có: a) 11+2+12+3+…+1n+n+1=n+1−1. b) 23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯n3−1n3+1=2n2+n+13n(n+1).

Câu hỏi:

13/07/2024 672

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:

a) $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1.$

b) $\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{2 (n^{2} + n + 1)}{3 n (n + 1)} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Khi n = 1, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{1} + \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 = \sqrt{1 + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}} = \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - 1.$

Khi đó:

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{(\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}) (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{[(k + 1) + 1] - (k + 1)}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{1}$

$= (\sqrt{k + 1} - 1) + (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})$

$= \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

+) Khi n = 2, ta có:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} = \frac{7}{9} = \frac{2 (2^{2} + 2 + 1)}{3 . 2 (2 + 1)} .$

Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1} = \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} = \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} .$

Khi đó:

$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= (\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1}) . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{[(k + 1) - 1] [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [{(k + 1)}^{2} - (k + 1) + 1]}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [(k^{2} + 2 k + 1) - (k + 1) + 1]}$

$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] (k^{2} + k + 1)}$

$= \frac{2}{3 (k + 1)} . \frac{[{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1]}$

$= \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 10 Toán

126 người thi tuần này

Bài tập Xác định vectơ. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá của vectơ lớp 10 (có lời giải)

10 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Vật lý

460 người thi tuần này

Bài tập Xác định sai số của phép đo trực tiếp lớp 10 (có lời giải)

12 câu 3.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Hóa học

204 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Hóa học 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Trãi (Đà Nẵng) có đáp án

21 câu 1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Tiếng Anh

528 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 Global Success Unit 3 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Sinh học

143 người thi tuần này

10 câu Trắc nghiệm Sinh học 10 Kết nối tri thức Bài 7 có đáp án

10 câu 3.6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Lịch sử

391 người thi tuần này

31 câu Trắc nghiệm Lịch sử 10 Bài 3 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

31 câu 5.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Địa lý

29 người thi tuần này

Trắc nghiệm Địa Lí 10 Bài 8 (có đáp án): Tác động của nội lực đến địa hình bề mặt Trái Đất

13 câu 10.5 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

396 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Giáo dục quốc phòng và an ninh 10 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 6.4 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Xem đáp án

Lời giải

+) Khi n = 1, ta có: a¹ – b¹ = a – b.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

a^{k + 1} – b^{k + 1} = (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}]

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

a^k – b^k = (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1})

Khi đó:

a^{k + 1} – b^{k + 1}

= a . a^k – b . b^k

= a . a^k – a . b^k + a . b^k – b . b^k

= a . (a^k – b^k) + b^k . (a – b)

= a . (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1}) + b^k . (a – b)

= (a – b) . a . (a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)(a . a^{k – 1} + a . a^{k –}²b + ... + a . ab^{k – 2} + a . b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)[a^{1 + (k – 1)} + a^{1 + (k – 2)}b + ... + a²b^{k – 2} + a . b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + a²b^{(k + 1) – 3} + ab^{(k + 1) –2}] + (a – b) . b^{(k + 1) – 1}

= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}].

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Câu 2

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án

Lời giải

+) Khi n = 1, ta có: 16¹ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16^k – 15k – 1 chia hết cho 225.

Khi đó:

16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1

= 16 . 16^k – 15k – 16

= 16 . 16^k – (240k – 225k) – 16

= 16 . 16^k – 240k + 225k – 16

= 16 . 16^k – 240k – 16 + 225k

= 16 (16^k – 15k – 1) + 225k

Vì (16^k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16^k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Câu 3

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + qⁿ^{– 1} = $\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.