Câu hỏi:
13/07/2024 707Chứng minh với mọi n ℕ*, ta có:
a) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;
b) 13n – 1 chia hết cho 6.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a)
+) Khi n = 1, ta có: 41 + 15 . 1 – 1 = 18 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 4k + 1 + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 4k + 15k – 1 ⁝ 9.
Khi đó:
4k + 1 + 15(k+1) – 1
= 4 . 4k + 15k + 14
= 4. 4k + (60k – 45k) + (–4 + 18)
= (4 . 4k + 60k – 4) – 45k + 18
= 4 . (4k + 15k – 1) – 45k + 18
Vì 4k + 15k – 1, 45k và 18 đều chia hết cho 9 nên 4 . (4k + 15k – 1) – 45k + 18 ⁝ 9, do đó 4k + 1 + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
b)
+) Khi n = 1, ta có: 131 – 1 = 12 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 13k + 1 – 1 ⁝ 6.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 13k – 1 ⁝ 6.
Khi đó:
13k + 1 – 1
= 13 . 13k – 1
= 13 . 13k – 13 + 12
= 13 . (13k – 1) + 12
Vì 13k – 1 và 12 đều chia hết cho 6 nên 13 . (13k – 1) + 12 ⁝ 6, do đó 13k + 1 – 1 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n 
ℕ*.
Câu 3:
Cho Sn = 1 + 2 + 22 +... + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.Câu 4:
Cho và , với n 
ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 6:
Cho , với n ℕ*.
a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu 7:
Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q2 +... + qn – 1 = với n ℕ*.
về câu hỏi!