Câu hỏi:

13/07/2024 1,096

Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_{n} = \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{n} - 1]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_{n} = \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{n} - 1]$ (đồng) (n $\in$ ℕ^*)".

+) Khi n = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . r% = $\frac{A . r}{100}$ (đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

$A + \frac{A . r}{100} = \frac{A (100 + r)}{100} = = \frac{A (100 + r)}{r} . \frac{r}{100}$

$= \frac{A (100 + r)}{r} [(1 + \frac{r}{100}) - 1]$

$= \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{1} - 1]$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là $T_{k + 1} = \frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k + 1} - 1] (đ ồ n g)$

Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:

– Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: T_k + A (đồng).

– Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là:

(T_k + A) . r% (đồng).

– Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là:

(T_k + A) + (T_k + A) . r%

= (T_k + A) + (T_k + A) . $\frac{r}{100}$

= (T_k + A) $(1 + \frac{r}{100})$

= $\{\frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k} - 1] + A\} . (1 + \frac{r}{100})$

= $\frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k} - 1] (1 + \frac{r}{100}) + A (1 + \frac{r}{100})$

= $\frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k + 1} - (1 + \frac{r}{100})] + A . \frac{100 + r}{100}$

= $\frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k + 1} - (1 + \frac{r}{100})] + A . \frac{100 + r}{r} . \frac{r}{100}$

= $\frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k + 1} - (1 + \frac{r}{100}) + \frac{r}{100}]$

= $\frac{A (100 + r)}{r} [{(1 + \frac{r}{100})}^{k + 1} - 1]$

= T_{k + 1} (đồng).

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 11,126

Câu 2:

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,118

Câu 3:

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,516

Câu 4:

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,545

Câu 5:

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,530

Câu 6:

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + qⁿ^{– 1} = $\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,002

Câu 7:

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,806

Xem thêm các câu hỏi khác »