Câu hỏi:

13/07/2024 3,540

Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{m . n}$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau x (kì hạn) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{x}$ (đồng) (x $\in$ ℕ^*)".

Vì một năm có m kì hạn nên lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r %}{m} = \frac{r}{100 m} .$

+) Khi x = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . $\frac{r}{100 m}$ (đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

A + A . $\frac{r}{100 m}$ = $A (1 + \frac{r}{100 m}) = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{1}$ (đồng)

Vậy mệnh đề đúng với x = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau (k + 1) (kì hạn) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k + 1}$ (đồng).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k}$ (đồng).

Vì sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu nên số tiền lại ở kì hạn thứ (k + 1) là: $A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} . \frac{r}{100 m}$ (đồng).

Suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

$A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} + A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} . \frac{r}{100 m}$

$= A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} (1 + \frac{r}{100 m}) = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k + 1}$ (đồng).

Vậy mệnh đề cũng đúng với x = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi x $\in$ ℕ^*.

Sau n (năm) thì số kì hạn người đó đã gửi là: m . n (kì hạn).

Do đó, số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là:

$S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{m . n}$ (đồng).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Xem đáp án

Lời giải

+) Khi n = 1, ta có: a¹ – b¹ = a – b.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

a^{k + 1} – b^{k + 1} = (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}]

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

a^k – b^k = (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1})

Khi đó:

a^{k + 1} – b^{k + 1}

= a . a^k – b . b^k

= a . a^k – a . b^k + a . b^k – b . b^k

= a . (a^k – b^k) + b^k . (a – b)

= a . (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1}) + b^k . (a – b)

= (a – b) . a . (a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)(a . a^{k – 1} + a . a^{k –}²b + ... + a . ab^{k – 2} + a . b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)[a^{1 + (k – 1)} + a^{1 + (k – 2)}b + ... + a²b^{k – 2} + a . b^{k – 1}) + (a – b) . b^k

= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + a²b^{(k + 1) – 3} + ab^{(k + 1) –2}] + (a – b) . b^{(k + 1) – 1}

= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}].

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Câu 2

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án

Lời giải

+) Khi n = 1, ta có: 16¹ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16^k – 15k – 1 chia hết cho 225.

Khi đó:

16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1

= 16 . 16^k – 15k – 16

= 16 . 16^k – (240k – 225k) – 16

= 16 . 16^k – 240k + 225k – 16

= 16 . 16^k – 240k – 16 + 225k

= 16 (16^k – 15k – 1) + 225k

Vì (16^k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16^k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Câu 3

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + qⁿ^{– 1} = $\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ℕ^*.

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.