Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2" với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k2 + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2.
Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2" với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k2 + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2.
Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có P(1): "1 = 12". Mệnh đề này đúng vì 12 = 1.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2.
c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:
P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]
= k2 + [2(k+1) – 1] = k2 + (2k + 2 – 1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2
Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
+) Khi n = 1, ta có: a1 – b1 = a – b.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
ak + 1 – bk + 1 = (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1]
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
ak – bk = (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1)
Khi đó:
ak + 1 – bk + 1
= a . ak – b . bk
= a . ak – a . bk + a . bk – b . bk
= a . (ak – bk) + bk . (a – b)
= a . (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + bk . (a – b)
= (a – b) . a . (ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + (a – b) . bk
= (a – b)(a . ak – 1 + a . ak – 2b + ... + a . abk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk
= (a – b)[a1 + (k – 1) + a1 + (k – 2)b + ... + a2bk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk
= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + a2b(k + 1) – 3 + ab(k + 1) –2] + (a – b) . b(k + 1) – 1
= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1].
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi nℕ*.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
+) Khi n = 1, ta có: 161 – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16k + 1 – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16k – 15k – 1 chia hết cho 225.
Khi đó:
16k + 1 – 15(k + 1) – 1
= 16 . 16k – 15k – 16
= 16 . 16k – (240k – 225k) – 16
= 16 . 16k – 240k + 225k – 16
= 16 . 16k – 240k – 16 + 225k
= 16 (16k – 15k – 1) + 225k
Vì (16k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16k + 1 – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập