Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là x2a2+y2b2=1, trong đó a > b > 0 (Hình 2). a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 của (E). b) (E) cắt trục Ox tại các điểm A1, A2 v...

a) Toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 của (E) là F1 −a2−b2; 0, F2 a2−b2; 0. b) +) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ của A2 có dạng xA2; 0. Mà A2 thuộc (E) nên xA22a2+02b2=1⇒xA22=a2⇒xA2=axA2=−a. Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên xA2>0⇒xA2=a ⇒ A2(a; 0). Khi đó OA2 = a−02+0−02=a2=a (vì a > 0). Vậy OA2 = a. +) Vì B2 thuộc trục Oy nên toạ độ của B2 có dạng 0; yB2. Mà B2 thuộc (E) nên 02a2+yB22b2=1⇒yB22=b2⇒yB2=byB2=−b. Ta thấy B2 nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên yB2>0⇒yB2=b⇒ B2(0; b). Khi đó OB2 = 0−02+b−02=b2=b (vì b > 0). Vậy OB2 = b.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,775

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0 (Hình 2).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của (E).

b) (E) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂ và cắt trục Oy tại các điểm B₁, B₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₂ và OB₂.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Elip có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của (E) là F₁ $(- \sqrt{a^{2} - b^{2}}; 0),$ F₂ $(\sqrt{a^{2} - b^{2}}; 0) .$

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $(x_{A_{2}}; 0) .$

Mà A₂ thuộc (E) nên $\frac{x_{_{A_{2}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{2}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{2}} = a \\ x_{A_{2}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{2}} > 0 \Rightarrow x_{A_{2}} = a$ $\Rightarrow$ A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{(a - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a$ (vì a > 0).

Vậy OA₂ = a.

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $(0; y_{B_{2}}) .$

Mà B₂ thuộc (E) nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{_{B_{2}}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y_{_{B_{2}}}^{2} = b^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{B_{2}} = b \\ y_{B_{2}} = - b \end{array} .$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_{2}} > 0 \Rightarrow y_{B_{2}} = b \Rightarrow$ B₂(0; b). Khi đó OB₂ = $\sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(b - 0)}^{2}} = \sqrt{b^{2}} = b$ (vì b > 0).

Vậy OB₂ = b.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

MF₁ = a + ex với x là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và –a ≤ x ≤ a.

Do đó a + e . (–a) ≤ MF₁ ≤ a + e . a

hay 147055090 ≤ MF₁ ≤ 152141431

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.

Câu 2

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là x² + y² = a².

Xét điểm M(x; y) $\in$ (E) và điểm M₁(x; y₁) $\in$ (C) sao cho y và y₁ luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A₁, A₂ của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính y² theo x².

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính y₁² theo x².

b) Tính tỉ số $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}}$ theo a và b.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = \frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}};$

$x^{2} + y_{1}^{2} = a^{2} \Rightarrow y_{1}^{2} = a^{2} - x^{2} .$

b) Từ a) ta suy ra $\frac{y^{2}}{y_{1}^{2}} = \frac{\frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}}}{a^{2} - x^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}} \Rightarrow \frac{y}{y_{1}} = \frac{b}{a} .$ Vậy $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}} = \frac{b}{a} .$

Câu 3

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M lớn nhất, biết F₂ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF₁ + MF₂ = 2a, chứng minh:

a) MF₁ – MF₂ = $\frac{2 c}{a}$ x;

b) MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x;

c) MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M lớn nhất, biết F₂ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M nhỏ nhất.

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF₁ + MF₂ = 2a, chứng minh:

a) MF₁ – MF₂ = $\frac{2 c}{a}$ x;

b) MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x;

c) MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x.