Cho số phức z thỏa mãn phương trình 4|z+i| + 3|z-i| = 10. Tính giá trị nhỏ nhất của |z|

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{5}{7}$

C. $\frac{3}{2}$

D. 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 191 câu Bài tập số phức mức độ cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

$Đặt z = a + bi (a; b \in ℝ) Ta có : |z + i| = \sqrt{a^{2} + {(b + 1)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 b + 1} = \sqrt{{|z|}^{2} + 2 b + 1} Tương tự : |z - i| = \sqrt{{|z|}^{2} - 2 b + 1} Áp dụng BĐT bunhiacopski dạng (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \leq {(ac + bd)}^{2} \Rightarrow 4 |z + i| + 3 |z - i| \leq \sqrt{4^{2} + 3^{2}} . \sqrt{{|z + i|}^{2} + {|z - i|}^{2}} \Leftrightarrow 10 \leq 5 \sqrt{{|z|}^{2} + 2 b + 1 + {|z|}^{2} - 2 b + 1} = 5 \sqrt{2 {|z|}^{2} + 2} \Leftrightarrow 4 \leq 2 {|z|}^{2} + 2 \Leftrightarrow {|z|}^{2} \geq 1 \Leftrightarrow |z| \geq 1 KL : {|z|}_{\min} = 1$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho $z^{2} = {(\bar{z})}^{2}$ là

A. Trục tung và trục hoành.

B. Trục tung.

C. Trục hoành.

D. Gốc tọa độ.

Lời giải

Đáp án A

$Đặt z = x + yi (x; y \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = x - yi Theo đề bài : z^{2} = {(\bar{z})}^{2} \Leftrightarrow {(x + yi)}^{2} = {(x - yi)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 2 xyi - y^{2} = x^{2} - 2 xyi - y^{2} \Leftrightarrow 4 xyi = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc y = 0 KL : Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán nằm trên trục hoành hoặc nằm trên trục tung$