Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thưc đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép chia một đa thức (một biến) cho một đa thức (một biến) khác, chẳng hạn ta cần thực hiện phép chia sau: (x³ + 1) : (x² – x +1).

Làm thế nào để thực hiện được phép chia một đa thức cho một đa thức khác?

a) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& x^2& -& 2\text{x}& +& 1\\ \overline{}& x^2& -& x& & \\ & & -& x& +& 1\\ & \overline{}& -& x& +& 1\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}x& -& 1\\ x& -& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy (x2 - 2x + 1) : (x - 1) = x - 1.

b) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& x^3& +& 2{\text{x}}^2& +& x\\ \overline{}& x^3& +& x^2& & \\ & & & x^2& +& x\\ & & \overline{}& x^2& +& x\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}{x}^2& +& x\\ x& +& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy (x3 + 2x2 + x) : (x2 + x) = x + 1.

c) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& -16{\text{x}}^4& & & +& 1\\ \overline{}& -16{\text{x}}^4& +& 4{\text{x}}^2& & \\ & & & -4{\text{x}}^2& +& 1\\ & & \overline{}& -4{\text{x}}^2& +& 1\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}-4{\text{x}}^2& +& 1\\ 4{\text{x}}^2& +& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy (-16x4 + 1) : (-4x2 + 1) = 4x2 + 1.

d) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccccccccc}& -32{\text{x}}^5& & & & & & & & & +& 1\\ \overline{}& -32{\text{x}}^5& +& 16{\text{x}}^4& & & & & & & & \\ & & & -16{\text{x}}^4& & & & & & & +& 1\\ & & \overline{}& -16{\text{x}}^4& +& 8{\text{x}}^3& & & & & & \\ & & & & & -8{\text{x}}^3& & & & & +& 1\\ & & & & \overline{}& -8{\text{x}}^3& +& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & & & & & & -4{\text{x}}^2& & & +& 1\\ & & & & & & \overline{}& -4{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& & \\ & & & & & & & & & -2\text{x}& +& 1\\ & & & & & & & & \overline{}& -2\text{x}& +& 1\\ & & & & & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccccccc}-2\text{x}& +& 1& & & & & & \\ 16{\text{x}}^4& +& 8{\text{x}}^3& +& 4{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& +& 1\\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \end{array}$

Vậy (-32x5 + 1) : (-2x + 1) = 16x4 + 8x3 + 4x2 + 2x + 1.

a) (8x³ + 2x² - 6x) : (4x)

= (8x³ : 4x) + (2x² : 4x) - (6x : 4x)

= 2x² + $\frac{1}{2}$x - $\frac{3}{2}$.

b) (5x³ - 4x) : (-2x)

= [5x³ : (-2x)] - [4x : (-2x)]

= $\frac{-5}{2}$x² - (-2)

= $\frac{-5}{2}$x² + 2.

c) (-15x⁶ - 24x³) : (-3x²)

= (-15x⁶) : (-3x²) - 24x³ : (-3x²)

= 5x⁴ - (-8x)

= 5x⁴ + 8x.