Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng: 1a3 + 1b3 + 1c3 = 3abc.

Ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ⇔ ab + bc + ca = 0 Mà a, b, c khác 0 nên 1a + 1b + 1c= 0 ⇔1a+1b=-1c⇔1a+1b3=−1c3⇔1a3+1b3+3.1a.1b.1a+1b=-1c3 ⇔1a3+1b3+1c3=3abc(đpcm).

Câu hỏi:

19/08/2025 1,992

Cho (a + b + c)²= a² + b² + c²và a, b, c khác 0.
Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{3}}$ + $\frac{1}{b^{3}}$ + $\frac{1}{c^{3}}$ = $\frac{3}{a b c}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: (a + b + c)²= a² + b² + c²

$\Leftrightarrow$ ab + bc + ca = 0

Mà a, b, c khác 0 nên $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = 0

$\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = - \frac{1}{c} \Leftrightarrow {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{3} = {(- \frac{1}{c})}^{3} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + 3 . \frac{1}{a} . \frac{1}{b} . (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = - \frac{1}{c^{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c}$ (đpcm).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường cao AH (H Î BC).

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC.

b) Khi cho AB = 6cm; AC = 8cm, tính độ dài đoạn BC và AH.

c) Từ H kẻ HE vuông góc với AC tại E. Chứng minh HE² = AE. EC.
d) Gọi I là trung điểm của AH, EI cắt AB tại F. Chứng minh AH² = FA. FB + EA. EC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường cao AH (H thuộc BC). (ảnh 1)

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90^{o}$

Theo đề bài, AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ^ BC hay $\hat{A H C}$ = 90°

Do đó $\hat{B A C} = \hat{A H C}$ = 90°.

Xét ∆ABC và ∆HAC có:

$\hat{B A C} = \hat{A H C}$ = 90° (chứng minh trên)

$\hat{C}$ chung

Do đó ∆ABC

∽

∆HAC (g.g)

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB²+ AC²= 6²+ 8²= 100

Suy ra BC = 10 cm.

Tam giác ABC có AH là đường cao tương ứng với cạnh đáy BC nên:

S_ABC = $\frac{1}{2}$ .AH. BC (1)

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên:

S_ABC = $\frac{1}{2}$ .AB.AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_ABC = $\frac{1}{2}$ .AB.AC = $\frac{1}{2}$ .AH. BC

Do đó AH = $\frac{A B . A C}{B C}$ = $\frac{6.8}{10}$ = 4,8 (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

c) Ta có: $\hat{A H E}$ + $\hat{E H C}$ = 90° và $\hat{E H C}$ + $\hat{E C H}$ = 90°

Suy ra $\hat{A H E}$ = $\hat{E C H}$

Xét ∆AEH và ∆CHE có:

$\hat{A H E} = \hat{E C H}$ (chứng minh trên)

$\hat{A E H} = \hat{H A C}$ = 90° (HE ^ AC tại E)

Do đó ∆AEH $∽$ ∆CHE (g.g)

Suy ra $\frac{A E}{H E} = \frac{H E}{C E}$ (các cạnh tương ứng)

Do đó HE² = AE. EC (đpcm) (1)

d) Ta có: AB ⊥ AC (vì ∆ABC vuông tại A) và HE ⊥ AC (giả thiết)

Suy ra AB // HE.

Do đó $\hat{B A I}$ = $\hat{I H E}$ (hai góc so le trong)

Xét ∆AIF và ∆EIH có:

$\hat{B A I}$ = $\hat{I H E}$ (chứng minh trên)

IA = IH (giả thiết)

$\hat{F I A}$ = $\hat{H I E}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AIF = ∆EIH (g.c.g)

Suy ra AF = HE (hai cạnh tương ứng)

Mà AF // HE (vì HE // AB)

Do đó AEHF là hình bình hành.

Mặt khác, $\hat{F A E}$ = 90°

Do đó AEHF là hình chữ nhật

Suy ra $\hat{A F H}$ = 90°.

Do đó $\hat{A F H}$ = $\hat{E H F}$ = 90°.

Mặt khác, ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH và EF bằng nhau; AH cắt EF tại trung điểm I.

Suy ra IH = IF nên ∆HIF cân tại I.

Do đó $\hat{I H F} = \hat{I F H}$ .

Xét ∆AFH và ∆EHF có:

$\hat{I H F} = \hat{I F H}$ (chứng minh trên)

$\hat{A F H}$ = $\hat{E H F}$ = 90° (chứng minh trên)

Do đó ∆AFH $∽$ ∆EHF (g.g).

Suy ra $\frac{F A}{H F} = \frac{H F}{F B}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Nên FA . FB = HF² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AF. FB + AE. EC = HF² + HE²

Xét ∆FHE vuông góc tại H có:

HF² + HE²= EF² = AH²(vì EF = AH)

Do đó AH² = FA. FB + EA. EC (đpcm).

Câu 2

Một xe ô tô chở hàng đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đến B ô tô dừng lại để giao hàng 30 phút rồi quay về A với vận tốc 60 km/h. Tính độ dài quãng đường AB, biết rằng tổng thời gian ô tô đi, thời gian về và nghỉ là 6 giờ.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)

Xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h nên thời gian ô tô chở hàng đi từ A đến B là:

$\frac{x}{50}$ (giờ).

Ô tô đi từ B về A với vận tốc 60 km/h nên thời gian ô tô chở hàng đi từ B đến A là:

$\frac{x}{60}$ (giờ)

Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ.

Vì tổng thời gian ô tô đi, thời gian về và nghỉ là 6 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{50}$ + $\frac{x}{60}$ + $\frac{1}{2}$ = 6

Û $(\frac{1}{50} + \frac{1}{60}) x = 6 - \frac{1}{2}$

Û $\frac{11}{300} x = \frac{11}{2}$

Û x = 150 (thỏa mãn)

Vậy độ dài quãng đường AB là 150 km.

Câu 3

Cho biểu thức:

A = $\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$ + $\frac{1}{x - 3}$ và B = $\frac{2}{x - 3}$ với x ≠ ± 3

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = −1.

b) Rút gọn biểu thức P = A : B.
c) Tìm x Î ℤ để P có giá trị là số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải các phương trình sau:

a) x(x − 1) − (x² − 3x + 5) = 0.

b) (x − 5)² + 6x − 30 = 0.
c) $\frac{x}{x - 2}$ − $\frac{1}{x}$ = $\frac{2}{x^{2} - 2 x}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho (a + b + c)²= a² + b² + c²và a, b, c khác 0.
Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{3}}$ + $\frac{1}{b^{3}}$ + $\frac{1}{c^{3}}$ = $\frac{3}{a b c}$ .

Cho biểu thức:

A = $\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$ + $\frac{1}{x - 3}$ và B = $\frac{2}{x - 3}$ với x ≠ ± 3

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = −1.

b) Rút gọn biểu thức P = A : B.
c) Tìm x Î ℤ để P có giá trị là số nguyên.

Giải các phương trình sau:

a) x(x − 1) − (x² − 3x + 5) = 0.

b) (x − 5)² + 6x − 30 = 0.
c) $\frac{x}{x - 2}$ − $\frac{1}{x}$ = $\frac{2}{x^{2} - 2 x}$ .