Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn ∫01f'(x)2dx=∫01(x+1)exf(x)dx=e2−14và f (1) = 0. Tính ∫01f(x)dx. A. e−12. B. e24. C. e – 2 D. e2.

Đáp án đúng là: C ∫01(x+1)exf(x)dx Ta có: u=f(x)⇒du=f'(x)dxdv=(x+1).exdx⇒v=x.ex ⇒∫01(x+1)exf(x)dx =x.ex.f(x)01−∫01x.ex.f'(x)dx=e2−14 ⇒∫01x.ex.f'(x)dx=−e2−14=−∫01f'(x)2dx ⇒f'(x)=−x.ex ⇒f(x)=∫f'(x)dx=(1−x).ex+C Với f (1) = 0 Þ C = 0 Þ f (x) = (1 – x).ex ∫01f(x)dx=∫01(1−x).exdx =(2−x).ex01=e−2

Câu hỏi:

10/07/2022 189

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f (1) = 0. Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

A. $\frac{e - 1}{2}$ .

B. $\frac{e^{2}}{4} .$

C. e – 2

Đáp án chính xác

D. $\frac{e}{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

$\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x$

Ta có: $\{\begin{cases} u = f (x) \Rightarrow d u = f^{'} (x) dx \\ d v = (x + 1) . e^{x} dx \Rightarrow v = x . e^{x} \end{cases}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x$ $= x . e^{x} . f (x)_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x . e^{x} . f^{'} (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} x . e^{x} . f^{'} (x) dx = - \frac{e^{2} - 1}{4} = - \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} dx$

$\Rightarrow f^{'} (x) = - x . e^{x}$

$\Rightarrow f (x) = \int f^{'} (x) dx= (1 - x) . e^{x} + C$

Với f (1) = 0 Þ C = 0 Þ f (x) = (1 – x).e^x

$\int_{0}^{1} f (x) dx = \int_{0}^{1} (1 - x) . e^{x} dx$

$= (2 - x) . e^{x}_{0}^{1} = e - 2$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 2; 3). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

A. x + 3y + 4z – 26 = 0

B. x + y + 2z – 6 = 0

C. x + 3y + 4z – 7 = 0

D. x + y + 2z – 3 = 0

Xem đáp án » 10/07/2022 61,982

Câu 2:

Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A. $f^{'} (x) = F (x), \forall x \in K$

B. $F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$

C. $F^{'} (x) = - f (x), \forall x \in K$

D. $f^{'} (x) = - F (x), \forall x \in K$

Xem đáp án » 10/07/2022 48,226

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 3), C(1; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. 2x + 3y + z – 1 = 0 hoặc 3x + y + 7z + 6 = 0

B. x + y + z – 1 = 0 hoặc –2x + 37y + 17z + 13 = 0

C. x + y + 2z – 1 = 0 hoặc –2x + 3y + 7z + 23 = 0

D. x + y + z – 1 = 0 hoặc –23x + 37y + 17z + 23 = 0

Xem đáp án » 10/07/2022 47,096

Câu 4:

Giả sử $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 3 x d x = a + b \frac{\sqrt{2}}{2} (a, b \in ℚ)$ . Khi đó giá trị a – b là

A. 0

B. $- \frac{3}{10}$ .

C. $- \frac{1}{6}$ .

D. $\frac{1}{5}$ .

Xem đáp án » 10/07/2022 29,375

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 7), B (–3; 8; –1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \sqrt{45}$

B. (x + 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 45

C. (x – 1)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 45

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \sqrt{45}$ .

Xem đáp án » 10/07/2022 25,159

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox có tọa độ là

A. (1; 0; 0)

B. (0; 2; 5)

C. (0; 0; 5)

D. (0; 2; 0)

Xem đáp án » 10/07/2022 22,783

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; –3) và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2; 3)$

A. x – 2y – 3z – 6 = 0

B. x – 2y – 3z + 6 = 0

C. x – 2y + 3z + 12 = 0

D. x – 2y + 3z – 12 = 0

Xem đáp án » 10/07/2022 21,464

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f (1) = 0. Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 2; 3). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 3), C(1; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Phương trình mặt phẳng (P) là:

Giả sử $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 3 x d x = a + b \frac{\sqrt{2}}{2} (a, b \in ℚ)$ . Khi đó giá trị a – b là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 7), B (–3; 8; –1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; –3) và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2; 3)$

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn ∫01f'(x)2dx=∫01(x+1)exf(x)dx=e2−14và f (1) = 0. Tính ∫01f(x)dx.

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 2; 3). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 3), C(1; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 23. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Giả sử I=∫0π4sin3x dx=a+b22 (a,b∈ℚ). Khi đó giá trị a – b là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 7), B (–3; 8; –1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; –3) và có một vectơ pháp tuyến n→=(1; −2; 3)

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f (1) = 0. Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 3), C(1; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Phương trình mặt phẳng (P) là:

Giả sử $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 3 x d x = a + b \frac{\sqrt{2}}{2} (a, b \in ℚ)$ . Khi đó giá trị a – b là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; –3) và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2; 3)$