Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tỉ số $\frac{R}{r}$ là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{3^2+4^2-2^2}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\widehat{A}$ là góc tù nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$ 

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{B}=45°\\ \widehat{C}=30°\end{array}\right.$ (vì $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=45°,\widehat{C}=30°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}$ 

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-45°-35°=105°$

Vậy $\widehat{A}=105°$