Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0;x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x (0\le x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2})$ là một hình tròn có bán kính $R=\sqrt{\cos x}$ Thể tích của vật thể đó là

Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh S như hình vẽ. Biết $OS=AB=4m$, O là trung điểm AB. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: Phần kẻ sọc 140000 đồng / $m^2$, phần giữa là hình quạt tâm O, bán kính 2m được tô đậm 150000 đồng / $m^2$, phần còn lại 160000 đồng / $m^2$. Tổng chi phí để sơn ba phần gần nhất với số nào sau đây?

Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=x{e}^x$ và $f\left(0\right)=2$ Tính $f\left(1\right).$

Một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x(1+e^x)$là

Cho ${\int }_1^3\frac{3+\ln x}{{(x+1)}^2}dx=a\ln 3+b\ln 2+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $a^2+b^2+c^2$ bằng

Biết $I={\int }_0^{\ln 2}\frac{dx}{e^x+3e^{-x}+4}=\frac{1}{c}(\ln a-\ln b+\ln c)$với a,b,c là các số nguyên dương . Tính $P=2a-b+c$

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một hình parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn, hai đầu mút của parabol nằm trên nửa đường tròn cách nhau một khoảng 4 mét (phần tô đậm). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dùng để trồng hoa cúc. Biết các kích thước cho như hình vẽ. Chi phí trồng hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 120.000 đồng$/m^2$ và 80.000 đồng$/m^2$.

Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến nghìn đồng)?

Cho ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=5$ và ${\int }_0^{5}f\left(x\right)dx=-3$, khi đó ${\int }_2^{5}f\left(x\right)dx$ bằng