Cho đường thẳng y = $\frac{3}{4}$x và parabol y = $\frac{1}{2}$x² + a, (a là tham số thực dương). Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S₁ = S₂ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

$\frac{3}{4}$x = $\frac{1}{2}$x² + a Û 2x² – 3x + 4a = 0 (*)

Ta có: (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt nên:

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ \mathrm{S}>0\\ \mathrm{P}>0\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}9\mathrm{a}-32\mathrm{a}>0\\ 2\mathrm{a}>0\end{array}\right.$

Û 0 < a < $\frac{9}{32}$ .

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2}$ x² − $\frac{3}{4}$ x + a.

Khi đó:

S₁ = $\underset{0}{\overset{{\mathrm{x}}_1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2-\frac{3}{4}\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\mathrm{dx}$

= ${\left.\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3-\frac{3}{8}{\mathrm{x}}^2\text{+ax}\right|}_0^{{\mathrm{x}}_1}$  = F(x₁).

S₂ = $\underset{{\mathrm{x}}_1}{\overset{{\mathrm{x}}_2}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2+\frac{3}{4}\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\mathrm{dx}$

= ${\left.-\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\right|}_{{\mathrm{x}}_1}^{{\mathrm{x}}_2}$  = −F(x₂) + F(x₁).

Ta có: S₁ = S₂ Û F(x₂) = 0

Û $\frac{1}{6}{\mathrm{x}}_2^3-\frac{3}{8}{\mathrm{x}}_2^2$ + ax₂ = 0

Û $4{\mathrm{x}}_2^2$ − 9x₂ + 24a = 0

Do x₂ là nghiệm của phương trình (*) nên ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x}}_2^2-3{\mathrm{x}}_2+4\mathrm{a}=0\\ 4{\mathrm{x}}_2^2-9{\mathrm{x}}_2+24\mathrm{a}=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x}}_2^2-3{\mathrm{x}}_2+4\mathrm{a}=0\\ 16\mathrm{a}-3{\mathrm{x}}_2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2.\frac{256}{9}{\mathrm{a}}^2-16\mathrm{a}+4\mathrm{a}=0\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{16\mathrm{a}}{3}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \frac{512}{9}{\mathrm{a}}^2-12\mathrm{a}=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{a}=0\\ \mathrm{a}=\frac{27}{128}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đối chiếu điều kiện của a nên ta có $\mathrm{a}=\frac{27}{128}\in \left(\frac{3}{16};\frac{7}{12}\right)$