Một cốc thủy tinh có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được:

Đặt u = 2x + 1 Û du = 2dx Þ dx = $\frac{1}{2}$du

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

$\frac{3}{4}$x = $\frac{1}{2}$x² + a Û 2x² – 3x + 4a = 0 (*)

Ta có: (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt nên:

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ \mathrm{S}>0\\ \mathrm{P}>0\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}9\mathrm{a}-32\mathrm{a}>0\\ 2\mathrm{a}>0\end{array}\right.$

Û 0 < a < $\frac{9}{32}$ .

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2}$ x² − $\frac{3}{4}$ x + a.

Khi đó:

S₁ = $\underset{0}{\overset{{\mathrm{x}}_1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2-\frac{3}{4}\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\mathrm{dx}$

= ${\left.\frac{1}{6}{\mathrm{x}}^3-\frac{3}{8}{\mathrm{x}}^2\text{+ax}\right|}_0^{{\mathrm{x}}_1}$  = F(x₁).

S₂ = $\underset{{\mathrm{x}}_1}{\overset{{\mathrm{x}}_2}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2+\frac{3}{4}\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\mathrm{dx}$

= ${\left.-\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\right|}_{{\mathrm{x}}_1}^{{\mathrm{x}}_2}$  = −F(x₂) + F(x₁).

Ta có: S₁ = S₂ Û F(x₂) = 0

Û $\frac{1}{6}{\mathrm{x}}_2^3-\frac{3}{8}{\mathrm{x}}_2^2$ + ax₂ = 0

Û $4{\mathrm{x}}_2^2$ − 9x₂ + 24a = 0

Do x₂ là nghiệm của phương trình (*) nên ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x}}_2^2-3{\mathrm{x}}_2+4\mathrm{a}=0\\ 4{\mathrm{x}}_2^2-9{\mathrm{x}}_2+24\mathrm{a}=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x}}_2^2-3{\mathrm{x}}_2+4\mathrm{a}=0\\ 16\mathrm{a}-3{\mathrm{x}}_2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2.\frac{256}{9}{\mathrm{a}}^2-16\mathrm{a}+4\mathrm{a}=0\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{16\mathrm{a}}{3}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \frac{512}{9}{\mathrm{a}}^2-12\mathrm{a}=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{a}=0\\ \mathrm{a}=\frac{27}{128}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đối chiếu điều kiện của a nên ta có $\mathrm{a}=\frac{27}{128}\in \left(\frac{3}{16};\frac{7}{12}\right)$