Cho hình thoi ABCD với A^=1200. Tia Ax tạo với tia BAx^ bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng: 1AM2+1AN2=43AB2

Vẽ AE⊥AN,E∈DC⇒AH⊥DC,H∈DC Ta có : DAE^=DAB^−EAN^+BAx^=150 Xét ΔABM và ΔADE có: ABM^=ADE^;AB=AD (tính chất hình thoi); BAM^=DAE^=150 Do đó ΔABM=ΔADE(g.c.g)⇒AM=AE ΔADH vuông tại H có: ADH^=1800−BAD^=600 nên là nửa tam giác đều ⇒DH=12AD=12AB ΔADH có H^=900, theo định lý pytago ta có: AH2+DH2=AD2⇒AH2=AB2−12AB2=34AB2 ⇒1AH2=43AB2 ΔANE có A^=900,AH⊥DN, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: 1AE2+1AN2=1AH2⇒1AM2+1AN2=43AB2

Câu hỏi:

13/07/2024 5,434

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 3 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình thoi ABCD với góc A = 120 độ. Tia Ax tạo với tia AB bằng 15 độ (ảnh 1)

Vẽ $A E ⊥ A N, E \in D C \Rightarrow A H ⊥ D C, H \in D C$

Ta có : $\hat{D A E} = \hat{D A B} - (\hat{E A N} + \hat{B A x}) = 15^{0}$

Xét $Δ A B M$ và $Δ A D E$ có: $\hat{A B M} = \hat{A D E}; A B = A D$ (tính chất hình thoi); $\hat{B A M} = \hat{D A E} = 15^{0}$

Do đó $Δ A B M = Δ A D E (g . c . g) \Rightarrow A M = A E$

$Δ A D H$ vuông tại H có:

$\hat{A D H} = 180^{0} - \hat{B A D} = 60^{0}$ nên là nửa tam giác đều

\Rightarrow D H = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} A B

$Δ A D H$ có $\hat{H} = 90^{0},$ theo định lý pytago ta có:

$A H^{2} + D H^{2} = A D^{2} \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - {(\frac{1}{2} A B)}^{2} = \frac{3}{4} A B^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

$Δ A N E$ có $\hat{A} = 90^{0}, A H ⊥ D N,$ theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: $\frac{1}{A E^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,665

Câu 2:

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,459

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,655

Câu 4:

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,266

Câu 5:

Tính

$M = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{63}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{63}}{2}}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,155

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$

Xem đáp án » 12/07/2024 700

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hình thoi ABCD với A^=1200. Tia Ax tạo với tia BAx^ bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng: 1AM2+1AN2=43AB2

Bình luận

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, M,H∈EF. Tính: DE,DH,EH,FH,DM

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: a) AD.AB=AE.ACb)AED^=ABC^

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: xy≤x+y2

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để 1AM2+1AN2 đạt giá trị lớn nhất.

Tính M=8+632+8−632

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính AB,AC,AH

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Tính

$M = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{63}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{63}}{2}}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$