Cho hình thoi ABCD với A^=1200. Tia Ax tạo với tia BAx^ bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng: 1AM2+1AN2=43AB2

Vẽ AE⊥AN,E∈DC⇒AH⊥DC,H∈DC Ta có : DAE^=DAB^−EAN^+BAx^=150 Xét ΔABM và ΔADE có: ABM^=ADE^;AB=AD (tính chất hình thoi); BAM^=DAE^=150 Do đó ΔABM=ΔADE(g.c.g)⇒AM=AE ΔADH vuông tại H có: ADH^=1800−BAD^=600 nên là nửa tam giác đều ⇒DH=12AD=12AB ΔADH có H^=900, theo định lý pytago ta có: AH2+DH2=AD2⇒AH2=AB2−12AB2=34AB2 ⇒1AH2=43AB2 ΔANE có A^=900,AH⊥DN, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: 1AE2+1AN2=1AH2⇒1AM2+1AN2=43AB2

Câu hỏi:

13/07/2024 5,380

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 3 !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình thoi ABCD với góc A = 120 độ. Tia Ax tạo với tia AB bằng 15 độ (ảnh 1)

Vẽ $A E ⊥ A N, E \in D C \Rightarrow A H ⊥ D C, H \in D C$

Ta có : $\hat{D A E} = \hat{D A B} - (\hat{E A N} + \hat{B A x}) = 15^{0}$

Xét $Δ A B M$ và $Δ A D E$ có: $\hat{A B M} = \hat{A D E}; A B = A D$ (tính chất hình thoi); $\hat{B A M} = \hat{D A E} = 15^{0}$

Do đó $Δ A B M = Δ A D E (g . c . g) \Rightarrow A M = A E$

$Δ A D H$ vuông tại H có:

$\hat{A D H} = 180^{0} - \hat{B A D} = 60^{0}$ nên là nửa tam giác đều

\Rightarrow D H = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} A B

$Δ A D H$ có $\hat{H} = 90^{0},$ theo định lý pytago ta có:

$A H^{2} + D H^{2} = A D^{2} \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - {(\frac{1}{2} A B)}^{2} = \frac{3}{4} A B^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

$Δ A N E$ có $\hat{A} = 90^{0}, A H ⊥ D N,$ theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: $\frac{1}{A E^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,579

Câu 2:

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,109

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,618

Câu 4:

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,244

Câu 5:

Tính

$M = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{63}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{63}}{2}}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,134

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$

Xem đáp án » 12/07/2024 674

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Tính

$M = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{63}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{63}}{2}}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình thoi ABCD với A^=1200. Tia Ax tạo với tia BAx^ bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng: 1AM2+1AN2=43AB2

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, M,H∈EF. Tính: DE,DH,EH,FH,DM

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: a) AD.AB=AE.ACb)AED^=ABC^

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: xy≤x+y2

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để 1AM2+1AN2 đạt giá trị lớn nhất.

Tính M=8+632+8−632

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính AB,AC,AH

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Tính

$M = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{63}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{63}}{2}}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$