Cho hình thoi ABCD với A^=1200. Tia Ax tạo với tia BAx^ bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng: 1AM2+1AN2=43AB2

Vẽ AE⊥AN,E∈DC⇒AH⊥DC,H∈DC Ta có : DAE^=DAB^−EAN^+BAx^=150 Xét ΔABM và ΔADE có: ABM^=ADE^;AB=AD (tính chất hình thoi); BAM^=DAE^=150 Do đó ΔABM=ΔADE(g.c.g)⇒AM=AE ΔADH vuông tại H có: ADH^=1800−BAD^=600 nên là nửa tam giác đều ⇒DH=12AD=12AB ΔADH có H^=900, theo định lý pytago ta có: AH2+DH2=AD2⇒AH2=AB2−12AB2=34AB2 ⇒1AH2=43AB2 ΔANE có A^=900,AH⊥DN, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: 1AE2+1AN2=1AH2⇒1AM2+1AN2=43AB2

Câu hỏi:

13/07/2024 5,743

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 3 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình thoi ABCD với góc A = 120 độ. Tia Ax tạo với tia AB bằng 15 độ (ảnh 1)

Vẽ $A E ⊥ A N, E \in D C \Rightarrow A H ⊥ D C, H \in D C$

Ta có : $\hat{D A E} = \hat{D A B} - (\hat{E A N} + \hat{B A x}) = 15^{0}$

Xét $Δ A B M$ và $Δ A D E$ có: $\hat{A B M} = \hat{A D E}; A B = A D$ (tính chất hình thoi); $\hat{B A M} = \hat{D A E} = 15^{0}$

Do đó $Δ A B M = Δ A D E (g . c . g) \Rightarrow A M = A E$

$Δ A D H$ vuông tại H có:

$\hat{A D H} = 180^{0} - \hat{B A D} = 60^{0}$ nên là nửa tam giác đều

\Rightarrow D H = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} A B

$Δ A D H$ có $\hat{H} = 90^{0},$ theo định lý pytago ta có:

$A H^{2} + D H^{2} = A D^{2} \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - {(\frac{1}{2} A B)}^{2} = \frac{3}{4} A B^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

$Δ A N E$ có $\hat{A} = 90^{0}, A H ⊥ D N,$ theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: $\frac{1}{A E^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H (ảnh 1)

a) $Δ A H B$ vuông tại H, HD là đường cao, áp dụng hệ thức lượng

$\Rightarrow A H^{2} = A D . A B (1), $ chứng minh tương tự ta có $A H^{2} = A E . A C (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A D . A B = A E . A C$

b) Từ $A D . A B = A E . A C \Rightarrow \frac{A D}{A E} = \frac{A C}{A B}$

Xét $Δ A D E$ và $Δ A C B$ có: $\frac{A D}{A E} = \frac{A C}{A B}; \hat{A}$ chung

$\Rightarrow Δ A D E ~ Δ A C B (c . g . c) \Rightarrow \hat{A E D} = \hat{A B C}$ (hai góc tương ứng)

Câu 2

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm (ảnh 1)

Áp dụng định lý Pytago vào $Δ D E F \Rightarrow E F^{2} = D F^{2} + D E^{2}$ hay $20^{2} = 16^{2} + D E^{2}$

\Rightarrow D E = \sqrt{20^{2} - 16^{2}} = 12 (c m)

Áp dụng hệ thức lượng vào $Δ D E F,$ đường cao DH

\begin{array}{l} \Rightarrow *) D H . E F = D E . D F h a y D H .20 = 12.16 \Rightarrow D H = 9, 6 (c m) \\ *) D E = E H . E F h a y 12^{2} = E H .20 \Rightarrow E H = \frac{12^{2}}{20} = 7, 2 (c m) \\ \Rightarrow F H = E F - E H = 20 - 7, 2 = 12, 8 (c m) \end{array}

Vì DM là đường trung tuyến trong $Δ D E F$ vuông tại D

\Rightarrow D M = \frac{1}{2} E F = \frac{1}{2} .20 = 10 (c m)

Vậy $D E = 12 c m, D H = 9, 6 c m, E H = 7, 2 c m, F H = 12, 8 c m, D M = 10 c m$

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính

$M = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{63}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{63}}{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hình thoi ABCD với A^=1200. Tia Ax tạo với tia BAx^ bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng: 1AM2+1AN2=43AB2

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: a) AD.AB=AE.ACb)AED^=ABC^

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, M,H∈EF. Tính: DE,DH,EH,FH,DM

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: xy≤x+y2

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để 1AM2+1AN2 đạt giá trị lớn nhất.

Tính M=8+632+8−632

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính AB,AC,AH

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}$

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Tính

$M = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{63}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{63}}{2}}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$