Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:

$$\begin{gathered} a)AD.AB=AE.AC \\ b)\widehat{AED}=\widehat{ABC} \end{gathered}$$

Cho hình thoi ABCD với $\widehat{A}={120}^0.$ Tia Ax tạo với tia $\widehat{BAx}$ bằng ${15}^0$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}=\frac{4}{3A{B}^2}$

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $\left(M,H\in EF\right).$ Tính: $DE,DH,EH,FH,DM$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Tính

$M=\sqrt{\frac{8+\sqrt{63}}{2}}+\sqrt{\frac{8-\sqrt{63}}{2}}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $AB,AC,AH$