Câu hỏi:

30/07/2022 380

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{2} - 2$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho I(1;0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

A.m = 0

B.m = −1

C.m = 1

D.m = 2.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x = 3 x (x - 2 m); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 m \end{matrix}$

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m \neq 0$

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là $A (0; 4 m^{2} - 2)$ và $B (2 m; 4 m^{2} - 4 m^{3} - 2)$

Do I(1;0) là trung điểm của AB nên $\{\begin{matrix} x_{A} + x_{B} = 2 x_{I} \\ y_{A} + y_{B} = 2 y_{I} \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 0 + 2 m = 2 \\ (4 m^{2} - 2) + (4 m^{2} - 4 m^{3} - 2) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1$ thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để hàm số $y = f (| x |)$ có đúng 3 điểm cực trị?

A.5

B.3

C.4

D.1

Lời giải

Bước 1:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (|x|)$ là $2 m + 1$ trong đó m là số điềm cực trị dương của hàm số $y = f (x)$

Do đó để hàm số $y = f (|x|)$ có đúng 3 điểm cực trị thì m=1⇒ hàm số $y = f (x)$ phải có 1 điểm cực trị dương (*).

Bước 2:

Ta có: $f^{'} (x) = x^{2} + 2 m x + m^{2} - 4$

Xét $f^{'} (x) = 0$ có $∆' = m^{2} - m^{2} + 4 > 0 \forall m$ nên $f^{'} (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$[\begin{matrix} x_{1} = - m + 2 \\ x_{2} = - m - 2 \end{matrix}$

Bước 3:

$(*) \Rightarrow - m - 2 \leq 0 < - m + 2 \Leftrightarrow - 2 \leq m < 2$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; - 1; 0; 1\}$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m x + 2 m}{x + 1}$ có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

A.9.

B.1.

C.4.

D.5.

Lời giải

ĐKXĐ: $D = ℝ ∖ \{- 1\}$

Ta có: $y = \frac{x^{2} + m x + 2 m}{x + 1} = x + m - 1 + \frac{m + 1}{x + 1}$

$\Rightarrow y^{'} = 1 - \frac{m + 1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - m}{{(x + 1)}^{2}}$

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình

y^{'} = 0

phải có 2 nghiệm phân biệt khác −1

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ' = 1 + m > 0 \\ 1 - 2 - m \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > - 1 \\ m \neq - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow m > - 1

Khi đó, giả sử $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm phân biệt của phương trình $y^{'} = 0$ , áp dụng định lí Vi-ét ta có $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{matrix}$

Đặt $A (x_{1}; x_{1} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{1} + 1}), B (x_{2}; x_{2} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{2} + 1})$ là hai điểm cực trị của hàm số.

Để tam giác OAB vuông tại O thì $\vec{O A} . \vec{O B} = 0$

$\Leftrightarrow x_{1} . x_{2} + (x_{1} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{1} + 1}) (x_{2} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{2} + 1}) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) (\frac{x_{1}}{x_{2} + 1} + \frac{x_{2}}{x_{1} + 1})$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) (\frac{1}{x_{1} + 1} + \frac{1}{x_{2} + 1}) + \frac{{(m + 1)}^{2}}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} + x}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$\Leftrightarrow - 2 m - 2 (m - 1) + (m + 1) . \frac{2 + 2 m}{- m - 1} + {(m - 1)}^{2} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{- m - 1} = 0$

$\Leftrightarrow - 2 m - 2 m + 2 - 2 - 2 m + m^{2} - 2 m + 1 - m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 9 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = 9 \end{matrix} (t m)$

$\Rightarrow S = \{0; 9\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

A.3

B.2

C.1

D.4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.

A. $0 < m ⩽ 1.$

B. $[\begin{matrix} m < 0 \\ m > 1 \end{matrix}$

C. 0<m<1.

D.m<0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi k là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (m^{2} - 8 m + 16) x - 31$ có cực trị. Tìm k.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m 2 - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

A.3.

B.5

C.4

D.Vô số.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m^{2} + m .$ . Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc 120^o là:

A. $m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

B. $m = 0; m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

C. $m = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

D. $m = 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y=x3−3mx2+4m2−2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho I(1;0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cho hàm số fx=13x3+mx2+m2−4x+1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để hàm số y=f(|x|) có đúng 3 điểm cực trị?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x2+mx+2mx+1 có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=mx3−2m−1x2+2mx−m−1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=mx33−mx2+x−1 có cực đại và cực tiểu.

Gọi k là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=13x3−x2+(m2−8m+16)x−31 có cực trị. Tìm k.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x8+(m−2)x5−(m2−4)x4+1 đạt cực tiểu tại x = 0?

Cho hàm số y=x4−2mx2+m2+m. . Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc 120o là:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{2} - 2$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho I(1;0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để hàm số $y = f (| x |)$ có đúng 3 điểm cực trị?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m x + 2 m}{x + 1}$ có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.

Gọi k là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (m^{2} - 8 m + 16) x - 31$ có cực trị. Tìm k.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m 2 - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m^{2} + m .$ . Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc 120^o là: