Cho hàm số f(x) = \(\left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,khi\,\,x < 0\\2\,\,khi\,x > 0\end{array} \right.\).

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số trên:

A(0; 0), B(– 1; 1), C(2 021; 1), D(2 022; 2)?

Lời giải

Đặt hình chữ nhật ABCD là phần trong của khung, hình chữ nhật MNPQ là khung ảnh hình chữ nhật như hình vẽ:

Chiều dài hình chữ nhật MNPQ là: x + 11 + x = 2x + 11 (cm).

Chiều rộng hình chữ nhật MNPQ là: x + 6 + x = 2x + 6 (cm).

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: (2x + 11)(2x + 6) = 4x² + 34x + 66 (cm²).

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: 6.11 = 66 (cm²).

Diện tích của viền khung ảnh là: 4x² + 34x + 66 – 66 = 4x² + 34x (cm²).

Vì diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 38 cm² nên ta có:

4x² + 34x ≤ 38 ⇔ 4x² + 34x – 38 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = 4x² + 34x – 38, có a = 4 > 0 và ∆ = 34² – 4.4.(– 38) = 1 764 > 0.

Suy ra tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 và x₂ = \( - \frac{{19}}{2}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có: f(x) < 0 khi x ∈ \(\left( { - \frac{{19}}{2};1} \right)\).

Do đó bất phương trình 4x² + 34x – 38 ≤ 0 khi x ∈ \(\left[ { - \frac{{19}}{2};1} \right]\).

Mà x > 0 nên ta có 0 < x ≤ 1 thì thỏa mãn 4x² + 34x – 38 ≤ 0.

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 xăng – ti – mét.

Lời giải

Đặt tọa độ các điểm như hình vẽ:

Ta có AD = x nên x > 0

Xét tam giác BHC vuông tại H, có:

BC² = BH² + CH² (định lí py – ta – go)

BC² = 4² + (6 – x)²

BC² = 16 + 36 – 12x + x²

BC² = x² – 12x + 52

BC = \(\sqrt {{x^2} - 12x + 52} \)

Xét tam giác AKD vuông tại K, có:

AD² = AK² + KD² (định lí py – ta – go)

AD² = 2² + x²

AD² = x² + 4

AD = \(\sqrt {{x^2} + 4} \)

Để vị trí đặt chân cầu sao cho khoảng cách từ B đến chân cầu phía B gấp đôi khoảng cách từ A đến chân cầu phía A ta có BC = 2AD

Hay \(\sqrt {{x^2} - 12x + 52} = 2\sqrt {{x^2} + 4} \)

Điều kiện x² + 4 ≥ 0 luôn đúng với mọi x.

⇔ x² – 12x + 52 = 4(x² + 4)

⇔ x² – 12x + 52 = 4x² + 16

⇔ 3x² + 12x – 36 = 0

⇔ x = 2 (thỏa mãn) hoặc x = – 6 (không thỏa mãn)

Vậy x = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.