Quan sát chiếc Cổng Vàng (Golden Gate bridge) ở Hình 26. Độ cao h (feet) tính từ mặt cầu đến các điểm trên dây treo ở phần giữa hai trụ cầu được xác định bởi công thức h(x) = \(\frac{1}{{9\,\,000}}{x^2} - \frac{7}{{15}}x + 500\), trong đó x(feet) là khoảng cách từ trụ cầu bên trái đến điểm tương ứng trên dây treo.

Xác định độ cao của trụ cầu so với mặt cầu theo đơn vị feet.

Lời giải

Đặt hình chữ nhật ABCD là phần trong của khung, hình chữ nhật MNPQ là khung ảnh hình chữ nhật như hình vẽ:

Chiều dài hình chữ nhật MNPQ là: x + 11 + x = 2x + 11 (cm).

Chiều rộng hình chữ nhật MNPQ là: x + 6 + x = 2x + 6 (cm).

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: (2x + 11)(2x + 6) = 4x² + 34x + 66 (cm²).

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: 6.11 = 66 (cm²).

Diện tích của viền khung ảnh là: 4x² + 34x + 66 – 66 = 4x² + 34x (cm²).

Vì diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 38 cm² nên ta có:

4x² + 34x ≤ 38 ⇔ 4x² + 34x – 38 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = 4x² + 34x – 38, có a = 4 > 0 và ∆ = 34² – 4.4.(– 38) = 1 764 > 0.

Suy ra tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 và x₂ = \( - \frac{{19}}{2}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có: f(x) < 0 khi x ∈ \(\left( { - \frac{{19}}{2};1} \right)\).

Do đó bất phương trình 4x² + 34x – 38 ≤ 0 khi x ∈ \(\left[ { - \frac{{19}}{2};1} \right]\).

Mà x > 0 nên ta có 0 < x ≤ 1 thì thỏa mãn 4x² + 34x – 38 ≤ 0.

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 xăng – ti – mét.

Lời giải

Đặt tọa độ các điểm như hình vẽ:

Ta có AD = x nên x > 0

Xét tam giác BHC vuông tại H, có:

BC² = BH² + CH² (định lí py – ta – go)

BC² = 4² + (6 – x)²

BC² = 16 + 36 – 12x + x²

BC² = x² – 12x + 52

BC = \(\sqrt {{x^2} - 12x + 52} \)

Xét tam giác AKD vuông tại K, có:

AD² = AK² + KD² (định lí py – ta – go)

AD² = 2² + x²

AD² = x² + 4

AD = \(\sqrt {{x^2} + 4} \)

Để vị trí đặt chân cầu sao cho khoảng cách từ B đến chân cầu phía B gấp đôi khoảng cách từ A đến chân cầu phía A ta có BC = 2AD

Hay \(\sqrt {{x^2} - 12x + 52} = 2\sqrt {{x^2} + 4} \)

Điều kiện x² + 4 ≥ 0 luôn đúng với mọi x.

⇔ x² – 12x + 52 = 4(x² + 4)

⇔ x² – 12x + 52 = 4x² + 16

⇔ 3x² + 12x – 36 = 0

⇔ x = 2 (thỏa mãn) hoặc x = – 6 (không thỏa mãn)

Vậy x = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.