Media VietJack

Gọi $O = A C \cap B D$ ta có:

$S A = S C \Rightarrow Δ S A C$ cân tại S $\Rightarrow S O ⊥ A C$

Tam giác SBD vuông cân tại S $\Rightarrow S O ⊥ B D$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Trong (SBD), gọi $I = M N \cap B D$

Đặt $\frac{S M}{S B} = x, \frac{S N}{S D} = y (0 < x, y < 1)$

Ta có: $\frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} x \Rightarrow \frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} x$

\frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A D C}} = \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} y \Rightarrow \frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} y

\Rightarrow \frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C D}} + \frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x + y}{4} (1)

Ta lại có: $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B D}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S D} = x y \Rightarrow \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x y}{2}$

\frac{V_{S . M N E}}{V_{S . B D C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} x y \Rightarrow \frac{V_{S . M N E}}{V_{S . A B C C}} = \frac{x y}{4}

\Rightarrow \frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} + \frac{V_{S . M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x y}{2} + \frac{x y}{4} = \frac{3 x y}{4} (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{x + y}{4} = \frac{3 x y}{4} \Leftrightarrow x + y = 3 x y$

\Leftrightarrow x = (3 x - 1) y \Leftrightarrow y = \frac{x}{3 x - 1} (x \neq \frac{1}{3})

Do $x, y > 0 \Rightarrow 3 x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$

Khi đó ta có $\frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} (x + \frac{x}{3 x - 1})$

Xét hàm số $f (x) = x + \frac{x}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$ ta có:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x - 1 = 1 \\ 3 x - 1 = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ x = 0 (k t m) \end{matrix}$
BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta thấy $\min V_{S . A M N E} = \frac{1}{4} . \frac{4}{3} V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} V_{S . A B C D}$

$\Rightarrow \max V_{A B C D N E M} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D} \Rightarrow V_{0} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D}$
Ta có: $Δ A B D$ đều cạnh 2 $(A B = A D, ∠ B A D = 60^{0}) \Rightarrow S_{A B D} = \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

\Rightarrow S_{A B C D} = 2 \sqrt{3}

Tam giác ABD đều cạnh 2 ⇒BD=2, lại có tam giác SBD vuông cân tại S nên

S O = \frac{1}{2} B D = 1

\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .1.2 \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Vậy $V_{0} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$
Đáp án cần chọn là: D

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và $S A = a$ . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho $\frac{S M}{S A} = k$ . Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.