Đáp án D

Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AC và BC, ta có:

OH = 8 (cm); OK = 6 (cm) và HA = HC = $\frac{AC}{2}$; KB = KC = $\frac{BC}{2}$ (định lí đường kính dây cung)

AB là đường kính nên $\widehat{ACB} = {90}^o$

Do đó tứ giác CHOK là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

$\Rightarrow$ OH = CK = 8 (cm) $\Rightarrow$ BC = 16 (cm)

Tương tự ta có AC = 12 (cm)

Xét tam giác vuông OHC, ta có:

$OC = \sqrt{O{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}= q0$ (cm) (Định lý Pytago)

$∆$ABD có đường cao BC đồng thời là đường trung tuyến nên $∆$ABD cân tại B

Ta có BD = BA = 2R (cm), điểm B cố định, 2R không đổi.

Vậy D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R. Do đó D sai

Đáp án C

Xét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thang

Vì hai tiếp tuyến CD và Ax cắt nhau tại C, hai tiếp tuyến DC và By cắt nhau tại D nên AC = CM; BD = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chu vi hình thang ABDC là:

$C_{ABDC min} khi C{D}_{min} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD // AB$

Mà OM $\perp$ CD $\Rightarrow$ OM $\perp$ AB $\Rightarrow C_{ABDC min} = AB + 2AB = 3AB$

Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang ABDC là 2AB khi OM $\perp$ AB

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của CD

Suy ra I là tâm của đường tròn đường kính CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM và BD = DM

Xét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thang

$\Rightarrow$ IO là đường trung bình của hình thang ABDC

$\Rightarrow$ IO // AC // BD mà AC $\perp$ AB $\Rightarrow$ IO $\perp$ AB (1)

$IO =\frac{AC+BD}{2}=\frac{CM+DM}{2}=\frac{CD}{2} \left(2\right)$

Suy ra tam giác COD vuông tại O

$$\begin{gathered} C_{ABDC} = 14 \iff AB + 2CD=14 \\ \Rightarrow CD=\frac{14-AB}{2}=\frac{14-4}{2}= 5cm \end{gathered}$$

Lại có: CD = CM + DM = AC + BD  AC = CD – BD = 5 – BD

Mà tam giác COD vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông COD ta có:

$$\begin{gathered} O{M}^2 = CM . DM\iff 2^2 = AC . BD \\ \iff AC . BD = 4\iff (5 – BD). BD = 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 5BD – B{D}^2 = 4\iff B{D}^2 – 5BD + 4 = 0 \\ \iff B{D}^2 – BD – 4BD + 4 = 0 \end{gathered}$$

$\iff$ BD (BD – 1) – 4(BD – 1) = 0 $\iff$ (BD – 1) (BD – 4) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}BD-1=0\\ BD-4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}BD=1\Rightarrow AC=4\\ BD=4\Rightarrow AC=1\end{array}\right.$

Vậy với AC = 4cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 4cm thì chu vi của hình thang ABDC bằng 14

Đáp án A

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AC = CM và BD = DM;

AC // BD (vì cùng vuông góc với AB)

Theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

$\frac{CN}{BN}=\frac{AC}{BD}\Rightarrow \frac{CN}{BN}=\frac{CM}{DM}$

Theo định lý Ta-lét đảo ta được MN // BD

Mà BD $\perp$ AB $\Rightarrow$ MN $\perp$ AB nên A đúng

Theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

$\frac{NH}{BD}=\frac{AH}{AB}=\frac{CN}{CB}=\frac{MN}{BD}$ $\Rightarrow$ MN = NH nên B sai

Đáp án A

Ta có IO là tia phân giác của $\widehat{BIA}$

IO’ là tia phân giác của $\widehat{CIA}$

Mà $\widehat{BIA}+\widehat{CIA}= {180}^o\Rightarrow \widehat{OIO\text{'}}= {90}^o$

Tam giác OIO’ vuông tại I có IA là đường cao nên $I{A}^2 = AO.AO’ = 9.4 = 36$

$\Rightarrow$ IA = 6cm $\Rightarrow$ IA = IB = IC = 6cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy BC = 2IA = 2.6 = 12 (cm)